Exemples génériques

Bonjour.

Un "exemple générique" est la même chose qu'une "récurrence évidente", c'est-à-dire qu'on laisse le lecteur généraliser. Voilà un exemple générique sur le moyen d'additionner deux fractions :
$\frac 5 7 +\frac 8 3 =\frac{5\times 3}{7\times 3}+\frac{8\times 7}{7\times 3} = \frac{15}{21}+\frac{56}{21}=\frac{71}{21}$
On peut faire ça en primaire, pas besoin de généraliser avec des lettres pour traiter tous les cas, mais on se rend compte qu'on peut remplacer 5, 7, 8 et 3 par ce qu'on veut.

Cordialement.

Il y a deux ans :

Emulpal a écrit:

Je suis élève en Ts

Aujourd'hui :

Emulpal a écrit:

le cours de mon fils au collège

Waouh !

PS. En tout cas, il y a une constante : l'absence de majuscules sur le clavier d'Emulpal.

Et le mépris des majuscules est héréditaire ? (:D

Je ne suis vraiment pas réveillé, depuis 5 ou 6 bonnes minutes, je cherchais le post décisif de GBZM :-D et viens de comprendre que c'était de l'humour.

Le mot "générique" n'a pas de définition unique officielle en maths (ou pourrait parler de "témoin de Skolem canonique", ça ferait beaucoup de choses non définies OU savantes dans une même expression).

Il arrive que certains objets $a$ aient la propriété que $R(a)\to \forall xR(x)$ (1), mais qu'EN PLUS, il n'y ait strictement aucune difficulté à les trouver (2).

(1) c'est le côté "témoin de Skolem"
(2) c'est le côté canonique

Par exemple, la matrice dont les coefs sont $X_{ij}$ dans la clôture algébrique du corps des fractions de $\Z[X_{11},...,X_{54}, X_{55}]$, qui est diagonalisable (sinon aucune ne le serait), qui vérifie donc trivialement Cayley Hamilton ce qui prouve donc que toute matrice vérifie Cayley Hamilton.

Autre exemple, si tu écris une expression avec la lettre $x$, les 4 signes usuels et des nombres entiers puis que tu mets "=0". Bin si en remplaçant $x$ par $\pi$ c'est vrai, c'est alors vrai pour tout $x$ (n'annulant des dénominateurs présents). Par contre attention, ici il n'est pas "trivial" que $\pi$ marche, donc ce n'est pas un bon exemple.

Le forcing (un outil découvert pour établir des indécidabilités) fait gros usages d'objets génériques, dans encore un autre sens, mais sens qui a des similitude avec le présent sens.

Cela dit, un prof de collège utilisant le mot "générique" de cette façon ne peut que le faire pour le fun et se doit tout de même de donner une légende sous l'encadré de la phrase snob que tu cites.

Dans tout ce qui concerne les activités scolaires, le phénomène de généricité n'est en général rien d'autre que la chose suivante:



Je te laisse énoncer un truc similaire pour les polynômes à plusieurs indéterminées

Une fois ça dit, comme la géométrie n'est rien d'autre que l'étude de certains polynômes dont on se demande s'ils sont identiquement nuls (en caricaturant), le sens de la phrase de ton prof de collège (si on admet d'office qu'il sait de quoi il parle évidemment) se traduit en :

1/ Ce truc est un polynôme de plusieurs indéterminées (les coordonnées des triangles en jeu)
2/ Vérifiez-le sur les quelques triangles machin et truc (ils sont alors qualifiés de génériques)
3/ Si c'est vrai pour eux, c'est toujours vrai pour tous

Cela dit la traduction en polynômes à plusieurs indéterminées et la sélection d'un nuage de points de $\R^n$ "générique" pour ce polynôme est d'un calcul inabordable pour des collégiens, donc, je le redis, de la part de ce prof, c'est au mieux de l'humour