Schwarz, Noether, Lagrange, Hamilton...
J'ouvre ce fil pour réaliser en plusieurs posts un petit projet (ne pas l'oublier) formel d'évacuer les hypothèses dogmatiques de découvertes célèbres faites en mécanique. J'ai eu cette idée dans les Pyrénées, mais depuis, je suis dans ma rentrée et les transports, donc très très ralentis, ça va aller tout doucement.
A l'edit, je vais mettre des liens vers les posts de foys et de Cyrano qui livrent intégralement toute la partie Noether, donc qui permettront aux lecteurs plus aguerris que moi d'aller plus vite s'ils le souhaitent (et ne connaissent pas déjà le topo, que moi, je n'ai toujours pas acquis, faute d'avoir compris la dernière ligne du calcul de Cyrano et d'avoir remis à plus tard.
De toute façon le présent fil est très différent car je vire l'infini, le principe de moindre action, les nombres réels et le calcul de variation (basé sur la complétude de IR), et à la fin, je ne veux évidemment pas obtenir zéro, comme on l'obtient avec les hypothèses, mais une valeur-kit (rendue nulle par les hypothèses et les axiome infinistes)
Je commence juste par un petit truc, car je dois sortir, car je n'avais jamais écrit la chose, et je veux la méditer en la regardant: il s'agit de la forme en jeu dans le lemme de Schwarz (qui est présenté avec une petite faiblesse sur internet car use de Rolle, qui apparait comme un coup de baguette magique comparé à l'énoncé lui-même de Schwarz)
Soient $A,B$ des anneaux, je note $F(A,B)$ l'anneau des application de $A$ dans $B$ (muni des opérations que tout le monde devine)
Si $f\in F(A,B)$, je note $f'(a)$ l'élément de $F(A,B)$ suivant:
$$ x\mapsto (f(a+x)-f(a)) $$
Attention, pour les lecteurs étudiants, ce n'est pas pour les étudiants, car il n'y aura pas de passage à la limite avant longtemps.
Soit maintenant $f \in F(A^2,A)$. Je vais essayer d'écrire proprement les deux choses qui, quand on passe à la limite sous les bonnes hypothèses sont déclarées égales (à Curry près) par Schwarz.
La première est :
$$h(a,b):=y\mapsto g(a,b+y)-g(a,b) = y\mapsto [x\mapsto (f(a+x,b+y)-f(a,b+y))-(f(a+x,b)-f(a,b))]$$
La deuxième est :
$$m(a,b) := x\mapsto [y\mapsto (( f(a+x,b+y) - f(a+x,b) )-( f(a,b+y) - f(a,b)))]$$
En Curryfiant (ou déCurryfiant, je ne sais plus l'ordre):
pour $h$, on obtient:
$$h(a,b) := [(x,y)\mapsto f(a+x,b+y) - f(a,b+y) -f(a+x,b) + f(a,b)] $$
et pour $m$ on obtient
$$m(a,b) := [(y,x)\mapsto f(a+x,b+y) -f(a+x,b) - f(a,b+y) + f(a,b)] $$
qui se réécrit:
$$m(a,b) := [(x,y)\mapsto f(a+y,b+x) -f(a+y,b) - f(a,b+x) + f(a,b)] $$
et looool, je ne sais pas si je me suis trompé, mais on obtient la même chose, donc je commence un peu mal mon projet :-D (Bon, en fait, peut-être que la (dé)Curryfication n'est pas aussi inoffensive que ça)
Bon, je vais aller maaaanger, et je reprends ça plus tard. Je mettrai aussi les liens vers foys et Cyrano.
A l'edit, je vais mettre des liens vers les posts de foys et de Cyrano qui livrent intégralement toute la partie Noether, donc qui permettront aux lecteurs plus aguerris que moi d'aller plus vite s'ils le souhaitent (et ne connaissent pas déjà le topo, que moi, je n'ai toujours pas acquis, faute d'avoir compris la dernière ligne du calcul de Cyrano et d'avoir remis à plus tard.
De toute façon le présent fil est très différent car je vire l'infini, le principe de moindre action, les nombres réels et le calcul de variation (basé sur la complétude de IR), et à la fin, je ne veux évidemment pas obtenir zéro, comme on l'obtient avec les hypothèses, mais une valeur-kit (rendue nulle par les hypothèses et les axiome infinistes)
Je commence juste par un petit truc, car je dois sortir, car je n'avais jamais écrit la chose, et je veux la méditer en la regardant: il s'agit de la forme en jeu dans le lemme de Schwarz (qui est présenté avec une petite faiblesse sur internet car use de Rolle, qui apparait comme un coup de baguette magique comparé à l'énoncé lui-même de Schwarz)
Soient $A,B$ des anneaux, je note $F(A,B)$ l'anneau des application de $A$ dans $B$ (muni des opérations que tout le monde devine)
Si $f\in F(A,B)$, je note $f'(a)$ l'élément de $F(A,B)$ suivant:
$$ x\mapsto (f(a+x)-f(a)) $$
Attention, pour les lecteurs étudiants, ce n'est pas pour les étudiants, car il n'y aura pas de passage à la limite avant longtemps.
Soit maintenant $f \in F(A^2,A)$. Je vais essayer d'écrire proprement les deux choses qui, quand on passe à la limite sous les bonnes hypothèses sont déclarées égales (à Curry près) par Schwarz.
La première est :
$$h(a,b):=y\mapsto g(a,b+y)-g(a,b) = y\mapsto [x\mapsto (f(a+x,b+y)-f(a,b+y))-(f(a+x,b)-f(a,b))]$$
La deuxième est :
$$m(a,b) := x\mapsto [y\mapsto (( f(a+x,b+y) - f(a+x,b) )-( f(a,b+y) - f(a,b)))]$$
En Curryfiant (ou déCurryfiant, je ne sais plus l'ordre):
pour $h$, on obtient:
$$h(a,b) := [(x,y)\mapsto f(a+x,b+y) - f(a,b+y) -f(a+x,b) + f(a,b)] $$
et pour $m$ on obtient
$$m(a,b) := [(y,x)\mapsto f(a+x,b+y) -f(a+x,b) - f(a,b+y) + f(a,b)] $$
qui se réécrit:
$$m(a,b) := [(x,y)\mapsto f(a+y,b+x) -f(a+y,b) - f(a,b+x) + f(a,b)] $$
et looool, je ne sais pas si je me suis trompé, mais on obtient la même chose, donc je commence un peu mal mon projet :-D (Bon, en fait, peut-être que la (dé)Curryfication n'est pas aussi inoffensive que ça)
Bon, je vais aller maaaanger, et je reprends ça plus tard. Je mettrai aussi les liens vers foys et Cyrano.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Ah pardon, ouf, ce n'est pas du tout la même chose, pardon, mal lu (en lisant une fois le latex dessiné, c'est mieux). Donc à suivre, ça s'annonce bien.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Mieux tard que jamais, voici les deux posts de références qui contiennent les ingrédients que je vais essayer de digérer et déplier ici:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1699374,1699668#msg-1699668
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1699374,1700076#msg-1700076Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je précise mon projet avec ce fil. Une fois le fil "abouti", je ferai un pdf de 5-10 pages.
1/ On lit sur wikipedia et autres liens que le théorème de Noether est probablement le théorème le plus important et le plus appliqué de tous les temps en physique théorique. Einstein semblait penser quelque chose d'assez proche
2/ On lit sur wikipedia et autres liens que Lagrange a DEDUIT le principe de moindre action d'un axiome proposé par d'Alembert (les forces de contraintes d'une contine mécanique ne travaillent pas). Or l'axiome d'Alembert est local alors que le PMA est global
3/ Une des plus grandes séries de découvertes de maths calculatoires est l'équivalence entre une condition locale (fermeture de formes) et une condition globale (quelque soit le chemin pris, le prix total est le même: exactitude de formes). C'est un prodige, qu'on le veuille ou non (le fait que $exactitude\iff fermeture$, je passe sur l'étude maginale des exceptions à ce principe qui ne concernent pas les convexe)
4/ Une des difficultés de ce domaine est que la "dérivée" (appelée différentielle) de $f:E\to F$ va de $E$ vers $L(E,F)$. Il suit qu'en dimension $>1$, la "prise de primitive" est hautement problématique dès la seule exigence de sens
5/ Pour l'homme de la rue (et pour la Terre entière essentiellement), la notion de valeur moyenne est bien plus robuste et sûre que celle d'intégrale, or les deux sont reliées "toujours" par $\int_X f = MoyenneDeSur(f,X) \times HyperVolumeDe(X)$
6/ Le théorème de Schwarz (je n'ai pas encore eu le temps de lire wikipedia) me semble pour l'essentiel émerger des mêmes mécanismes que le théorème de Fubini, sauf que "Schwarz est mieux" (pour faire simple: pas de variable d'intégration)
7/ La crise des fondements a décidé de boycotter les phrases égales à leur négation (puisque la logique classique le rend toutes-puissantes), mais en logique, leur présence est revenu déguisée en procédé diagonal timide et en maths qui s'appliquent le mieux à la vraie vie du monde, elles sont revenues par la grande porte***, mais hélas toujours hypocritement déguisées en autre chose.
8/ Bref, malgré les apparences ce projet n'est pas du tout ambitieux, car il a un statut de projet uniquement à cause de mon ignorance. Je suis persuadé que de très nombreux spécialistes dans des domaines différents manient ça sur le bout des doigts, mais simplement, il y a des cloisons dues aux langages différents les uns des autres qu'ils utilisent. Aussi je pense (même si pour cause de non disponibilité, je vais aller au ralenti) qu'il sera vite abouti (si on me fait l'honneur de dynamiser un peu le fil et le fournir en liens FACILES à lire).
9/ J'insiste bien sur le fait que je ne m'intéresse pas ici à la partie qui pose problème et fait taffer à 3000E/mois des milliers de chercheurs, ie la partie de la vie où des formes fermées ne sont pas exactes (pour le dire en un court slogan). J'ai "choisi mon camp" en quelque sorte :-D : d'abord les choses faciles. Pur les difficiles on verra plus tard.
*** on ne le dit pas mais, sauf erreur d'interprétation de ma part, et d'ailleurs les matheux eux-mêmes, vue leur béotie en logique, n'en sont pas conscients, "essentiellement" toutes les maths qui taffent dans les applications efficaces pour la vraie vie raisonnent "essentiellement" dans la structure de vérité $\R[X] / (X^2)$, où la phrase $(X)$ est égale à sa négation (la négation d'un idéal est son annulateur).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Concernant ce qu'on peut déjà consulter et qui est parfaitement écrit (les posts de foys et Cyrano mis en lien), je rappelle où se situe pour moi la substance "hors-calcul" (la partie calcul je vais mettre du temps, mais c'est un problème personnel): foys rappelle en le prouvant que les chemin extrémaux ont forcément une propriété qui s'expriment par une condition locale (les équations d'Euler-Lagrange) et Cyrano fait ce qu'il appelle "son hypothèse1", qui est légitimée par la preuve de foys. Il reste que "décider de supposer qu'on a affaire à des chemins extrémaux" (le PMA) n'est évidemment pas satisfaisant. J'ai souvent raconté comment "on le déduit" de la théorie quantique, mais calculatoirement parlant, c'est peu satisfaisant**.
** le gugus de mauvaise foi pourrait dire "quitte à faire des hypothèses, je vais supposer que $3=5$, c'est plus rigolo".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pardon, j'ai oublié un 5bis qui est: la notion de moyenne a un sens pour les vecteurs (donc essentiellement pour tout)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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