Récurrence transfinie

Gauss_wh
Gauss_wh
dans Fondements et Logique
Salut,

Soit $(A,\leq)$ un ensemble bien ordonné et $<$ l'ordre strict associé. Soit $S$ une partie de $A$. J'essaye de montrer cela :
Si : $\forall a\in A, [(\forall x\in A, x<a)\implies x\in S]\implies a\in S$ (*)
Alors : $S=A$ (**)

Voilà comment je pars :
Supposons (*). Par l'absurde, supposons non (**). Alors $A\backslash S\neq\emptyset$ donc comme $A$ est bien ordonné, $a:=\min (A\backslash S)$ exists. Ensuite, je ne sais pas quoi faire pour obtenir la contradiction (j'imagine $a\in S$). En fait, je ne sais pas comment utiliser (*).

Edit : mon énoncé est faux, je l'ai réécrit, maintenant c'est bon j'espère.

Réponses

  • Gauss_wh
    Gauss_wh
    C'est bon, j'ai trouvé, désolé pour la création inutile du fil.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ce qui suit ton "si" a une parenthèse mal placée qui complique la compréhension (puisque la formule telle quelle n'a plus vraiment de sens)
  • Gauss_wh
    Gauss_wh
    J'avoue que je les mets toujours un peu "au pif" les parenthèses :-S
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Bah euh ça a peu de chances de marcher :-D

    Le bon énoncé est : si $\forall a\in A((\forall x\in A, x< a\implies x\in S)\implies a\in S)$, alors $S=A$.

    Comprendre : si pour tout élément de $a$, je peux déduire que $a\in S$ du fait que tous ceux qui le précèdent sont dans $S$, alors je peux déduire que tout le monde est dans $S$
  • christophe c
    christophe c
    @Gauss, ce que je vais dire, je suis sûr de l'avoir déjà dit à la virgule près, mais flemme de retrouver le lien.

    Dans ta situation, il n'y a strictement rien à faire, dès lors que tu considères $\exists$ comme dual de $\forall$, etc. Du coup, parler de démonstration est un peu trompeur ici. Ton énoncé avec des $\forall$ dit très exactement que tout ensemble non vide a un plus petit élément. Je veux dire par là, il ne lui est pas "seulement équivalent", mais il le dit.

    Evidemment, dans le contexte académique du langage et de la logique classique où on considère:

    $\exists x(nonA)$ comme abrégeant $non(\forall xA)$

    $non(A\to B)$ comme abrégeant $A\ et\ nonB$

    $non(AouB)$ comme abrégeant $(nonA)et(nonB)$

    etc (si tu veux un exposé formel détaillé, demande, là je te donne juste une photo floue) c'est à dire en gros, où on considère disposer d'un langage symétrique.

    Bon, pour être peut-être moins frustrant, je te recopie ton énoncé:

    $$ (\exists a: [(\forall x<a: x\in S)\ et\ (a\notin S)])\ ou \ (\forall x: x\in S)$$

    en ayant juste traduit mot à mot les abréviations, je n'ai pas raisonné.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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