Brouwer (énième)

Pardon pour cet étalement dans le temps de mes questions (j'ai progressé en ce que j'essaie de ne plus laisser oublié des chantiers, je les avance doucement, quand dispo, mais c'est très long).

Je rappelle une preuve du théorème de Brouwer en dimension 2:

soit $f$ du disque unité trigonométrique dans lui-même, continue et sans point fixe. Soit $r>0$ et on considère le cercle de centre $O$ et de rayon $r$. Lorsqu'on parcourt ce cercle (de (0,r) jusqu'à lui-même) avec $x$, la flèche allant de $x$ au point $f(x)$ fait un nombre algébrique*** entier de tours. Or il en fait zéro quand $r$ est petit et au moins 1 quand $r=1$, on a donc une contradiction (fonction continue non constante d'un connexe vers un discret).

Certaines preuves utilisant des intégrales**, mesures, etc, de niveau L1, généralisent ça je crois à toute dimension sauf que "nombre de tours" est remplacé par autre chose.

Question-demande de renseignement: est-ce que le nombre obtenu dans ces preuves est aussi un nombre entier?


*** On imagine un rouleau de PQ qu'on débobine et rembobine et débobine, etc, et on regarde où ça s'arrête.
** il y a eu des liens sur le forum vers cette preuve pour étudiants, quand j'aurai le temps, je les chercherai et les mettrai.