Axiomes superflus

Bonjour Adrien_,
Tu vas trop vite en besogne.
Les axiomes de ZFC sont tout ce que tu viens de dire, mais dans certains cas il y en a qui sont redondants.
Je suis grave fatigué là, je t'expliquerai demain.
N'hésite pas à m'envoyer un MP si j'oublie, mon cerveau est petit en ce moment.

1) L'axiome d'extensionnalité n'est pas redondant car il existe des théories des ensembles avec atomes, soit plusieurs objets dans l'univers qui n'ont pas d'éléments.
2) L'axiome des parties n'est pas redondant, car si tu prends par exemple la classe de tous les ensembles $x$ qui sont héréditairement dénombrables, c'est-à-dire que $x$, ses éléments, les éléments de ses éléments etc sont dénombrables, tu obtiens un modèle de ZFC - Parties dans lequel tout est dénombrable.
(Ici, dénombrable est à prendre au sens fini ou dénombrable).
3) L'axiome de l'infini n'est pas redondant car $V_{\omega}$ est modèle de ZFC - Infini.
4) Le schéma de remplacement n'est pas redondant, car pour tout ordinal limite $\lambda > \omega$, $V_{\lambda}$ est modèle de ZFC - remplacement.
5) L'axiome du choix n'est pas redondant : Gödel + Cohen.
6) L'axiome de fondation n'est pas redondant car il est facile, avec la technique des modèles de permutation, de construire des modèles de ZFC - Fondation.
7) Pour l'axiome de la réunion je ne sais pas : je suppose qu'il n'est pas redondant, sinon on l'aurait dégagé depuis longtemps, mais je ne connais pas de démonstration de cette non-redondance.
Par contre il faut faire gaffe : pour ZFC o peut se permettre de virer manu militari le vide, la paire et la séparation.
Mais si tu travailles dans une théorie plus faible cela devient faux.
Par exemple si tu travailles dans ZC = ZFC - Remplacement (théorie qui suffit pour faire 95% des maths, hors set theory), là tu as vraiment besoin du schéma de séparation.
J'espère avoir répondu à tes attentes

En fait, historiquement les choses se sont passées un peu différemment.
Pour bien comprendre il faut remonter à Cantor.
C'est lui (avec Dedekind) qui a dégagé les idées essentielles qui ont mené à hiérarchiser l'infini de 2 façons : ordinalement et cardinalement.
Il travaillait certes dans une théorie naïve qui s'est révélée être inconsistante, mais l'essentiel des jalons était posé.
Juste après, à cause des paradoxes de Burali-Forti, Cantor, Russel et Berry, peu à peu s'est dégagée la nécessité de poser des règles strictes (qu'on appelle axiomes) et de s'y tenir.
Vers 1910 Ernst Zermelo a proposé un système constitué des axiomes d'extensionnalité, du vide, de la paire, de la réunion, des parties, de l'infini et du schéma de compréhension.
Comme je te le disais plus haut ce système s'est avéré suffisant pour servir de base à 95% (ou peut-être même 99% à l'époque) de l'édifice mathématique traditionnel.
Mais quand on a voulu justifier proprement l'existence d'ordinaux infinis, on s'est aperçu qu'on coinçait dès $\omega+\omega$.
C'est pourquoi en 1926 Abraham Fraenkel a proposé d'ajouter le schéma de remplacement pour pouvoir construire des ordinaux et cardinaux aussi grands qu'on veut.
Du coup il s'est avéré que le schéma de compréhension devenait redondant, mais c'est un moindre mal.
Je crois que l'axiome de fondation est venu après, avec von Neumann vers 1930.
A ce sujet il est intéressant de noter qu'il avait proposé très tôt l'idée de la hiérarchie cumulative (vers 1914 je crois), mais il avait besoin d'un axiome supplémentaire pour justifier que celle-ci suffit à remplir l'univers.
Tu trouveras plein d'informations sur ce sujet dans un petit livre de Jean-Pierre Belna : "Histoire de la théorie des ensembles", chez Ellipses (le bouquin doit coûter 6 u 7 euros à tout casser).

Merci Martial pour ce résumé historique.

S

@Christophe : Oui, tu as raison, j'ai parlé un peu vite.
Mais on a quand même le droit de dire que l'axiome de la paire est redondant avec le reste, non ?

@Christophe : je crois que c'est plutôt un complément circonstanciel de j'sais pas quoi, mais j'ai compris ce que tu veux dire, c'est l'essentiel !