Fonction non composée

Mmmmh, soient $a$ et $b$ deux points différents de $[0,1]$. Soit $f$ une bijection de $[0,1]$ qui échange $a$ et $b$ et qui n'a que ces deux points comme points d'ordre $2$ [EDIT](par exemple $a = 0$, $b = 1$, et $f$, en dehors de $0$ et $1$, est égale à $x \mapsto \sqrt{x}$)[/EDIT].

Supposons qu'il existe $g$ telle que $f = g \circ g$. Posons $c := g(a)$. Alors $g(c) = g(g(a)) = f(a) = b$, et donc $f(c) = g(g(c)) = g(b)$. Posons $d := g(b)$. On a $f(c) = d$. D'autre part, on a $g(d) = g(g(b)) = f(b) = a$, et donc $f(d) = g(g(d)) = g(a) = c$. Bref, $c$ et $d$ sont aussi d'ordre $2$ [EDIT2](ls sont d'ordre au plus deux, et $c \not = d$, sinon $f(a) = g(g(a)) g(c) = g(d) = g(g(b)) = f(b)$ ce qui est absurde)[/EDIT2]. Donc $g(a) = a$ ou $g(a) = b$. De même, $g(b) = a$ ou $g(b) = b$. Si $g(a) = a$, alors $f(a) = a$, ce qui est absurde. De même, si $g(b) = b$, alors $f(b) = b$, ce qui est absurde. Donc $g(a) = b$ et $g(b) = a$, et donc $f(a) = a$, ce qui est absurde.

En résumé, pour une telle $f$, il n'existe pas de $g$ telle que $g \circ g = f$.

Sinon, je pense que si $P(f)$ désigne la conjonction des deux phrases suivantes :
- $f$ est une bijection
- pour chaque $k \in \{2,3,4,\cdots,\infty\}$, si $f$ a un nombre $n_k$ fini d'orbites de cardinal $k$, alors $n_k$ est pair,

alors on peut fabriquer une $g$ très facilement, en regroupant les orbites de même taille deux par deux et en faisant une sorte de ping-pong entre les deux.

EDIT : Je précise que dans ce dernier argument, j'ai quand même besoin de choisir des "points base" dans chaque orbite.

@Georges je venais saluer et que tu évoques dans l'autre fil..... Mais je ne la trouve pas elle a du t'envoyer un MP

Je salue ev quand-même à distance alors!