Théorie des ensembles
Bonjour,
j'aimerais savoir comment la construction axiomatique de la théorie des ensembles a empêché la réapparition du paradoxe de Russell. Merci d'avance !
j'aimerais savoir comment la construction axiomatique de la théorie des ensembles a empêché la réapparition du paradoxe de Russell. Merci d'avance !
Réponses
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Le paradoxe de Russell consiste à considérer "l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes", en symboles $\{x\mid x\notin x\}$ (même si on peut le voir un peu plus généralement), puis à raisonner dessus et obtenir une contradiction.
Mais pour que cette preuve marche il faut pouvoir considérer ledit ensemble : il faut qu'il existe. La théorie axiomatique des ensembles permet de définir clairement les ensembles qu'on peut ou pas considérer; en particulier il n'y a aucune règle qui permette d'affirmer que cet ensemble existe.
Au contraire, du point de vue de la théorie axiomatique des ensembles (disons ZF), la preuve de Russell est une preuve du fait que cet ensemble (l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas) n'existe pas. -
Vous voulez dire que la théorie axiomatique n'a pas autorisé l'appartenance d'un ensemble à lui même ?
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Ce n'est pas ce que dit Maxtimax. Il dit qu'il n'y a pas d'ensemble des $x$ qui n'appartiennent pas à $x$ dans un modèle de ZF. Mais bien sûr, il existe des $x$ qui n'appartiennent pas à $x$ dans tout modèle de ZF.
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Salut.
@GBZM ce que tu dis là n'est pas facile à saisir. Je lis deux phrases qui s'entrechoquent !
Au lieu de dire que cet ensemble n'existe pas, je dirais que c'est égal à $\emptyset$.Maxtimax a écrit:..(disons ZF), la preuve de Russell est une preuve du fait que cet ensemble (l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas) n'existe pas.
J'ai toujours un problème quand vous parlez de logique avec l'utilisation de $\in$ et $\subset$. J'ai l'impression que pour vous, il n'y a aucune différence. Qui peut m'y éclairer ? -
babsgueye écrivait:
> Au lieu de dire que cet ensemble n'existe pas, je dirais que c'est égal à $\emptyset$.
Ça c'est dire une bêtise, puisque l'ensemble vide existe bel et bien dans tout modèle de ZF. Par contre, l'ensemble des $x$ qui n'appartiennent pas à $x$ n'existe dans aucun modèle de $ZF$. Précisément l'énoncé
$$\forall y \ \exists x\ \left((x\in y \text{ et } x\in x)\text{ ou }(x\not\in y \text{ et } x\not\in x)\right)$$
qui dit qu'aucun ensemble n'est l'ensemble des $x$ qui n'appartiennent pas à $x$ est un théorème de ZF. -
En fait c'est un théorème de la "théorie vide" c'est à dire sans axiome non logique, pas seulement de ZF (Le langage étant celui de la relation binaire)
Le mot "paradoxe" pour Russel est mal choisi on devrait dire "théorème de Russel". Mais le choix du mot paradoxe est révélateur psychologiquement d'à quel point les gens ont besoin de taffer dans la théorie (contradictoire) originelle.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@GBZM j'ai juste un peu saisi le théorème avec les quantificateurs. Mais au lieu de dire que ''l'ensemble des $x$ qui n'appartiennent pas à $x$
n'existe pas'', je dirais ''l'ensemble $x$ qui n'appartient pas à $x$ n'existe pas''; pour moi il y a nuance et c'est pourquoi je dis que le premier est
$\emptyset$.
PS: Lorsqu'on lit la petite histoire de Russel et son coiffeur, Si $A$ est l'ensemble des habitants du village qui sont supposés tous se raser, alors le coiffeur qui ne se rase pas, peut-il toujours être supposé comme élément de $A$ ? -
Je ne comprends pas pourquoi Russell a affirmé que l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux mêmes est exactement l'ensemble de tout les ensembles !
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Ce n'est pas ce qu'il a affirmé. Ce que dit le "paradoxe", c'est que la collection des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-même n'est pas un ensemble.
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1) Il ne l'a pas affirmé
2) C'est faux (en général, sauf si on suppose l'axiome de fondation) -
Mais pourquoi à chaque fois qu'on parle de l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux mêmes, on évoque l'ensemble de tous les ensembles ?!
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Pas à chaque fois, mais le paradoxe de Russel permet de montrer que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas.
Par l'absurde, supposons que cette collection soit un ensemble $E$. Alors d'après le schéma d'axiomes de compréhension (ou de séparation selon les auteurs), l'ensemble $$\{x \in E \mid x \not \in x\}$$ est un ensemble, ce qu'il n'est pas, contradiction.
Ce schéma d'axiomes, c'est ce qui permet, partant d'un ensemble $E$ et d'une propriété à une variable libre $P$, d'affirmer que $$\{x \in E \mid P(x)\}$$ est un ensemble, ou autrement dit, la phrase $$\exists y, \forall x, (x \in E \wedge P(x)) \Leftrightarrow x \in y$$ est vraie. -
@Poirot, coquille, tu as dû vouloir taper <<slash iff >>, mais tes doigts n'ont pas suivi :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@Poirot j'arrive à comprendre que l'ensemble $x$ qui n'appartient pas à $x$ n'existe pas, mais je ne suis pas convaincu par ta démonstration de ''l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas'', puisque tu utilises un ensemble qui n'existe pas pour ta contradiction.
Par ailleurs, je pense que l'ensemble $A$ appartient à l'ensemble de tous les ensembles ?. -
babgueye :-S c'est constant chez toi d'oublier la moitié des signes dans une phrase***? (Ce n'est pas un reproche, ça peut être un handicap contre lequel tu ne peux rien)
*** ce qui a pour effet de tout casser et perdre tout sens.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
christophe c, tu me dis rien qui réponde à mon questionnement !
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@babsgueye : l'ensemble des ensembles $x$ tels que $x \not \in x$ n'existe pas. C'est différent de ce que tu dis qui est "l'ensemble $x$ tel que $x \not \in x$ n'existe pas".
Quant à la démonstration ci-dessus, elle montre que l'ensemble des l'ensemble n'existe pas (je n'aime pas cette manière de dire, mais tu as voulu employer ce terme), car s'il existait, alors on en déduirait que l'ensemble dont l'argument de Russell montre qu'il n'existe pas, existe. -
Je pense que l'argument de Russel montre qu'un ensemble n'existe pas, et non pas un ensemble d'ensembles. Y" a que là qu'est le litige et je trouve ma remarque compréhensible.
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Tu peux penser ce que tu veux, ça ne t'empêche pas de raconter n'importe quoi.
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Ta remarque n'est pas compréhensible car tu écris en oubliant des mots "l'ensemble qui ne s'appartient pas à lui même" avec un "L' " or il y en a plein ainsi et qui existent.
En sciences et en maths un mot oublié change tout. Par exemple
37 n'est pas la même chose que le nombre 3×7 qui est 21.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Justement @christophe c, pour moi il ne peut y en avoir plein. Il y en a qu'un seul. On parle d'ensemble et non d'appellation !
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Donc 2=1 ? :-D
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Si $\{2\} = \{1\}$ oui, mais $A = \{\} = \{\} = B$.
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Wtf
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@babsgueye : Supposons, par l'absurde, $\exists z \ \forall y \quad y \in z$. D'après le schéma d'axiomes de compréhension, $\exists a \ \forall x \quad (x \in z \mbox{ et } x \not \in x) \Leftrightarrow x \in a$. Maintenant (Russell) : si $a \in a$, alors comme $a \in z$, $a \not \in a$, contradiction. Et si $a \not \in a$, alors comme $a \in z$, $a \in a$, contradiction. Donc il n'existe pas de $z$ tel que $\forall y \quad y \in z$. C'est tout !
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Georges Abitbol a écrit:....$\Leftrightarrow x\in a$
Je ne vois pas pourquoi, puisque $x$ n'existe pas d'après Russel. -
y a aucun rapport avec la phrase de george, x est lié.
Et évidemment qu’il y a des ensembles qui ne s’appartiennent pas eux-mêmes, t’en connais d’ailleurs beaucoup :-D
Tu ne « confondrais » pas l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas eux-mêmes avec un des éléments qui est un ensemble qui ne s’appartient pas lui-même ?
Tu vois bien que 1 ne s’appartient pas lui-même et que c’est le cas de tous les ensembles que tu connais usuellement en maths.
Et de toute façon c’est pas comme ça qu’on procède, il t’a donné une preuve tu dois pouvoir lire les hypothèses qu’il utilise, si t’es pas d’accord avec un axiome alors ok sinon t’es Obligé d’accepter la preuve. À moins que tu ne sois pas d’accord avec l’axiome de compréhension restreinte (ce qui donne l’impression d’être le cas en te lisant vite) alors ok mais j’ai peur des preuves que t’as pu faire dans ta vie sans jamais l’utiliser.
Ah et si de toute façon pour toi il n’exise Pas d’ensemble qui s’appartient lui-même bah si l’ensemble de russell existe alors il est vide et alors ? La démo de George mentionne nulle part qu’il faut que l’ensemble de russell soit vide ou pas... -
Je ne connais pas bien babgueye. Mais franchement, il abuse. Faire exprès de continuer d'oublier des mots comme si personne ne l'avait prévenu est une attitude étrange. "mouis, mais enfin 37 = 30+7, alors que 21 = 30-9, donc blabla, je ne comprends pas". Voilà à quoi ça ressemble après qu'on lui a dit que 3 fois 7 et 37 ne sont pas le même nombre.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@grothenbiete on a déjà discuté de àa plus haut dans ce fil. Lorsque je disais que l'ensemnle de Russel est vide, on m'a assuré que c'est pas l'ensemble vide mais qu'il n'existe carrément pas. Maintenant je soutiens qu'il y a pas des ensembles qui n'existe pas, mais un ensemble qui n'existe pas.
L'ensemble qui n'existe pas, qu'on le nomme A, B, C, D,.... est ''le même''. Qu'on utilise $x, a, y, z,....$ pour le définir, c'est ''le même''.
@christophe c, je ne confonds pas $\{21\}$, $\{3\times 7\}$ et $\{37\}$ et je vois pas ce que tu veux m'expliquer par cette remarque. -
Bon bah tu me réponds pas/à côté, j’insiste pas.
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Aah attends tu confonds pas appartenance et inclusion depuis le début en fait ?
Russell c’est l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas eux mêmes.
C’est pas l’ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas.
Dans un premier cas ça n'existe pas, dans l’autre c’est l’ensemble vide.
Mais c’est bizarre tout était clair pourtant, tu fais pas de la dyslexie ? -
Je ne confonds rien @grothenbiete. J'ai même posé la question: si vous logiciens vous faites la différence entre $\in$ et $\subset$ dans ce fil.
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:-D
Avant de ne pas confondre $\subset $ avec $\in$, il faudrait d'abord ne pas confondre les deux expressions suivantes:
1) l'ensemble qui ne s'appartient pas à lui-même
2) l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-même
(1) n'a aucun sens et quand tu lis (2) tu fais comme si "c'était du pipi de chat" de faire semblant d'avoir lu (1) :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Babsgueye pour ton information aucun ensemble ne sappartient à lui-même. Donc bien sûr que 1) existe, par contre, n'étant pas unique, utiliser l'article défini l apostrophe n'a pas de sens.
De surcroît, 2) n'existe pas puisqu'il est contradictoire. -
De toute façon les deux expressions ne doivent pas être confondues AVANT tout autre choseAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour,
Sous l'axiome de fondation, il me semble :
a) qu'aucun ensemble ne s'appartient à lui-même (donc 1) est vérifié pour tout ensemble) ;
b) donc que l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-même existe car c'est l'ensemble vide (donc 2) existe). [Edit : grosse bêtise que j'ai écrite et donc barrée après une remarque de Poirot -- voir post suivant --, il faut lire à la place : "n'existe pas"]
Cordialement -
L'Axone du choix a écrit:Donc bien sûr que 1) existe, par contre, n'étant pas unique,
Que signifie ''n'étant pas unique'' ici ? -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1713704,1716506#msg-1716506
X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( X:-( -
Pourquoi n'es-tu pas d'accord avec ma démonstration ?
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@babsgueye: Comment notes-tu l'ensemble de tous les ensembles? Notons-le $\mathcal{E}$, si tu es d'accord. Pour être sûr qu'on se comprenne bien, ça veut bien dire que pour tout ensemble $E$, on a $E \in \mathcal{E}$? Par exemple, on a $\mathcal{E} \in \mathcal{E}$, n'est-ce-pas? Et puis, puisque pour tout ensemble ensemble $E$, $\{ E \}$ est un ensemble, on a aussi $\{ \mathcal{E} \} \in \mathcal{E}$. Et puis, puisque pour tous ensembles $A$ et $B$, $A \times B$ est un ensemble, on a aussi $\mathcal{E} \times \mathcal{E} \in \mathcal{E}$. Jusque là, on est d'accord?
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Faire de l'ensemble de tous les ensembles un espace métrique, ça relève du fil "Blagues mathématiques" (et c'est même la meilleure depuis un bout de temps).
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Ça relève surtout de shtam.
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Bonjour!
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