Produit d'ensembles

Light* · September 2018

Bonjour à toutes et à tous,

Je glisse une question parmi tous ces messages forts intéressants : si j'ai deux ensembles $ E=\{a,b\} $ et $F=\{c,d\}$ munis d'une loi $\cdot$, comment appelle-t-on l'ensemble suivant :
$$ G=\{ \prod x_i \cdot y_j ~|~ x_i \in E,~ y_j \in F \} = \{a \cdot c,a \cdot d,b \cdot c,b\cdot d \} ?$$

P.S : Je m'exprime sûrement mal quand je dis que $E$ est muni d'une loi $\cdot$ (je copie mon cours sur les groupes ^^). Ce que je veux dire par là, c'est que $a \cdot b$ a un sens, même si $a \cdot b$ n'est pas forcément dans $E$ (la loi n'est pas forcément interne quoi).

Merci !

Magnolia · September 2018

Bonjour

Si la loi n'est pas interne, $a\cdot b$ demande pour le moins des explications! Mais si ton $E$ est une partie d'un ensemble plus grand, ça peut avoir un sens. Par exemple si $E$ est l'ensemble des entiers négatifs, la multiplication n'est pas une loi interne, mais le produit existe bel et bien dans $\mathbb Z$.

Light* · September 2018

C'est cela ! Merci Magnolia : $E$ et $F$ sont inclus dans un ensemble plus grand où la loi $\cdot$ y est interne. Du coup a-t-il un nom cette espèce de produit?

Magnolia · September 2018

C'est plutôt la loi sur un sous-ensemble qu'on appelle parfois la restriction de la loi du grand. Si le petit ensemble est stable pour la loi, on appelle loi induite. L'addition sur $\mathbb N$ est induite par celle de $\mathbb Z$.

Light* · September 2018

Oui mais si la loi n'est pas interne à mes ensembles $E$ et $F$, on ne peut pas parler de loi induite... si? ^^

Magnolia · September 2018

Non, si elle n'est pas interne on peut tout au plus parler de restriction.

Light* · September 2018

En fait, je cherche à "étendre" la définition de la somme de deux ensembles aux lois en général. Lorsque l'on écrit $A+B=\{a+b~|~ a \in A, b \in B \}$, on sait de quoi l'on parle. Mais puis-je écrire $A \times B=\{a \times b~|~ a \in A, b \in B \}$ sans le confondre avec le produit cartésien, ou plus généralement :
$$ A \cdot B=\{a \cdot b~|~ a \in A, b \in B \}$$
sans le confondre avec quelque chose? D'où ma question que j’enrichis : existe-t-il un terme (comme somme d'ensemble) pour la multiplication ou pour une loi lambda appliquée à deux ensembles, comme j'essaye de l'expliquer, et existe-t-il une notation spécifique?

J'ai du mal à m'exprimer

Magnolia · September 2018

Oui, toutes ces notations sont correctes, à condition de savoir où ça se passe. Dans ta définition de $A+B$, si $A$est un ensemble d'entiers et $B$ un ensemble de lettres d'un alphabet, tu ne peux pas le balancer comme ça!

Par ailleurs, le produit cartésien $A\times B$ est formé de couples, donc on ne peut le confondre avec ce que tu as défini ici par $A\times B$. Néanmoins, dans une telle situation j'éviterais de noter l'opération par $\times$.

Light* · September 2018

si Aest un ensemble d'entiers et B un ensemble de lettres d'un alphabet, tu ne peux pas le balancer comme ça!

Bien évidemment !

Par exemple, si $E=\{ x_1,...,x_n \in \mathbb{R} \}$ et $F=\{ y_1,...,y_m \in \mathbb{R}\}$, je voulais écrire $G$ tel que : $G=\{ x_i \times y_j ~|~ 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m \}$. Mais je ne vais pas le noter $E \times F$ quand même, la confusion avec l'ensemble de couples est trop probable ! D'où mes questions...

Et donner un nom à chaque ensemble que je construit comme cela n'est franchement pas chouette ! Et si je l'écrivais $EF$?