Montrer que R équivaut à non(non R)
Bonsoir
Dans le cours d'Algèbre de Roger Godement, il y a une tautologie à démontrer.
Si R est une relation, la relation R équivaut à non(non R) est vraie. Les axiomes utilisés sont :
Soient R,T, S des relations.
1) (R ou R) implique R est vraie.
2) R implique (R ou S) est vraie.
3) (R ou S) implique (S ou R) est vraie.
4) (R implique S) implique ((R ou T) implique (S ou T)) est vraie.
Les règles utilisées sont :
1) Toute relation obtenue par application d'un axiome est vraie.
2) Si R implique S est vraie, et si R est vraie, alors S est vraie.
Pourriez-vous me donner une indication s'il vous plaît ?
Cordialement.
Dans le cours d'Algèbre de Roger Godement, il y a une tautologie à démontrer.
Si R est une relation, la relation R équivaut à non(non R) est vraie. Les axiomes utilisés sont :
Soient R,T, S des relations.
1) (R ou R) implique R est vraie.
2) R implique (R ou S) est vraie.
3) (R ou S) implique (S ou R) est vraie.
4) (R implique S) implique ((R ou T) implique (S ou T)) est vraie.
Les règles utilisées sont :
1) Toute relation obtenue par application d'un axiome est vraie.
2) Si R implique S est vraie, et si R est vraie, alors S est vraie.
Pourriez-vous me donner une indication s'il vous plaît ?
Cordialement.
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Réponses
Pour $non~non~R \Rightarrow R$ ça me paraît plus difficile et j'ai dû établir la transitivité de l'implication avant. On retrouve ces démonstrations dans Bourbaki, Théorie des Ensembles au début, tu auras tout le détail, Godement a dû s'en inspirer.
( non R implique non non non R) implique ((non R ou R) implique (non non non R ou R)) vraie (Axiome 4), on a démontré que A implique non non A est vraie, il suffit de poser A comme étant l'assemblage non R pour montrer que (non R implique non non non R) est vraie, on obtient alors ((non R ou R) implique (non non non R ou R)) vraie (règle 2), étant donné que non R ou R est vraie (on a déjà montré que R implique R est vraie), alors en appliquant la règle 2 on trouve que non non non R ou R est vraie, du coup (non non R) implique R est vraie.
Il me reste plus qu'à montrer que si A est vrai, et si B est vrai, alors A et B est vrai pour conclure que R équivaut à non non R est vrai
Je ne sais pas qui a voulu te punir en te donnant ça, mais tu n'auras jamais à le faire "utilement" à la main. Le plus dur étant d'ailleurs, souvent de taper les longues formules investies.