Complément du complément

liberty
liberty
dans Fondements et Logique
Bonjour à tous

Je veux prouver que tout élément d’algèbre de [large]B[/large]oole est le complément de son complément c-à-d (x')' =x
Est-ce que c'est juste si je le fais avec les tables de vérité puisque pour une égalité x et (x')' auront la même table de vérité ?
Ou dois-je procéder autrement ?
Merci pour votre aide.

[George Boole (1815-1864) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une démonstration, ça part d'axiomes. Quel langage et quels axiomes as-tu pour la théorie des algèbres de Boole ?
  • liberty
    liberty
    bonjour ;

    Les propriétés sont : l'associativité, la commutativité, l'élément neutre, l'idempotence etc...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Soit plus précis. En particulier, rien dans les mots que tu lâches en vrac ne parle du complément.
  • liberty
    liberty
    pour le complément :

    on a x+x'=1 et xx'=0
  • Math Coss
    Math Coss
    Si pour tout $x$, on a $x'=1-x$ (probablement égal à $1+x$ aussi, non ?), il n'est pas difficile de calculer $(x')'$ (pour ces mêmes $x$).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je croyais que tu avais tout ton temps, Math Coss ?
    Il me semble que là, tu vas un peu vite en besogne. Es-tu sûr que le $+$ est bien la différence symétrique ? Quid de l'idempotence annoncée par liberty ? Que signifie ton $-$ ?

    Pour liberty : tu as donc $x'+x''=1$ et $x'x''=0$. Essaie d'utiliser ça. pour montrer $x=x''$. Tu peux commencer par essayer de montrer une inégalité $x\leq x''$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Possible que ma réponse soit complètement fausse : j'ai interprété « algèbre de Boole » comme « algèbre sur $\mathbf{F}_2$, ça n'a peut-être rien à voir. En tout cas, ce n'est pas une question de temps.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Liberty, tu ne couperas pas à être plus précis sur tes axiomes d'algèbre de Boole (B majuscule).
  • christophe c
    christophe c
    Je suis d'accord avec GBZM: liberty se doit de donner une définition PARFAITEMENT précise*** de ce que signifie "algèbre de Boole" pour "mériter" une réponse précise et complète. La bi-interprétabilité** avec les anneaux de Boole est un théorème, et non dans la définition (** @Math Coss, ce que tu admets et qui est "toute la question" en quelque sorte)

    *** il n'y a pas d'opérations initialement, une alg.Boole c'est un ordre qui a telles et telles propriétés.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • liberty
    liberty
    Premièrement , je n'oblige personne à me répondre, deuxièmement je sais très bien que Boole prend une majuscule, il s'agissait d'une faute de frappe.
    Et troisièmement, arrêtez un peu avec votre arrogance à deux sous , je suis sur ce forum juste pour avoir de l'aide. vous ne voulez aider gardez vos critiques pour vous.
    D'ailleurs j'ai réussi à avoir ma réponse à ma question initiale:
    oui on peut utiliser les tables de vérité en transformant l'expression en forme propositionnelle.
    et là , un philosophe va se pointer pour me dire : c'est quoi une forme propositionnelle?:-X
  • Math Coss
    Math Coss
    À la limite, j'aurais aimé ça, comprendre ce que c'est qu'une algèbre de Boole.
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    C'est quoi une forme propositionnelle ?
  • christophe c
    christophe c
    Liberty: il n' y avait rien d'arrogant dans la demande de complément (sans jeu de mot) que je t'adressais pour pouvoir apporter une réponse plus adaptée. :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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