Un problème avec la preuve de Cantor

tchoc · October 2018

Bonjour (ou bonsoir, c'est selon...) à tous

Lorsque Cantor veut prouver que l'intervalle [0;1] n'est pas dénombrable il fait un raisonnement par l'absurde en supposant l'existence d'une liste qui comprend tous les nombres de cet intervalle et il construit un nombre X dont la n-ième décimale est identique à la n-ième décimale du n-ième nombre de sa liste. Puis il construit un deuxième nombre en appliquant la règle suivante : en énumérant la liste des décimales de X, si on rencontre un 1 on écrit un 2 et si on rencontre autre chose qu'un 1 on écrit un 1.
On obtient ainsi un nombre Y qui, par construction, n'est forcément pas dans la liste initiale, d'où la contradiction.

Mon problème est le suivant : il existe dans cet intervalle [0;1] des nombres qui possèdent deux écritures décimales bien distinctes. Exemple : 0,49999...dont on montre aisément qu'il vaut 0,5.
Comment puis-je être sûr que l'écriture de Y que j'obtiens finalement, n'est pas l'autre écriture d'un nombre déjà dans la liste ?

Merci d'avance de votre attention.
tchoc.

Dom · October 2018

Le nombre Y contient une infinité de 1 et 2 donc n'est pas décimal donc on n'aura pas le problème redouté.
Les seuls nombres qui possèdent deux écritures décimales (plutôt deux développements décimaux) sont les nombres décimaux (ceux que tu décris avec que des 9 ou que des 0).

christophe c · October 2018

il fait un raisonnement par l'absurde

Non, ce n'est pas un raisonnement par l'absurde! (Cherche éventuellement des liens où les choses ont été expliquées en long en large et en travers).

Poirot · October 2018

Ce que montre Cantor, c'est que pour toute partie dénombrable de $[0, 1]$, c'est-à-dire toute liste infinie d'éléments de $[0, 1]$ indexée par les entiers, il existe un élément de $[0, 1]$ qui n'est pas dans cette partie (liste).

Le problème de l'ambigüité de l'écriture décimale peut être mis de côté : on suppose que l'on ne donne que des nombres sous forme décimale ne possédant pas que des $9$ à partir d'un certain rang.

tchoc · October 2018

Merci beaucoup à Dom et Poirot pour vos remarques constructives

On peut peut-être aussi évacuer le problème de l’ambiguïté décimale en considérant [0;1] privé de ses éléments rationnels dont le développement décimal est périodique et qui forment une partie dénombrable : reste donc les irrationnels de [0;1] dont la valuation p-adique assure une écriture décimale unique et appliquer le procédé de Cantor.

@christophe c : je ne suis pas un logicien professionnel ni certainement un mathématicien chevronné et j'avance, ici, en annonçant clairement que je ne sais pas et que je cherche de l'aide. La sentence qui me condamne en rouge à aller chercher mes réponses ailleurs est au minimum discourtoise. Autant passer son chemin et ne pas répondre plutôt que de marquer un tel mépris pour celui qui ne sait pas.

Bon week end
Michel Ré

christophe c · October 2018

Mais ce n'était pas du tout une critique juste une info. De plus ne voulant pas t'embêter avec le pourquoi (très long à détailler) j'ai juste ajouté qu'il existe SI TU VEUX une voire des discussions sur le forum. Pardon si tu l'as mal pris le rouge étant juste pour bien insister car tu es loin d'être le seul à faire l'erreur.

Dom · October 2018

Allez, j'annonce un truc pour vous "réconcilier", et pour que la foudre s'abatte sur moi :

Dans un langage presque courant et répandu dans beaucoup de documents (bouquins, sites, polys) rédigés tout de même par des professionnels (mais non logiciens) on utilise l'expression "raisonnement par l'absurde" qui n'est pas ce qu'appellent les logiciens.

Il suffit de le savoir. Reconnaissons que cette erreur sémantique permet cependant de savoir de quel (ou quelle forme de) raisonnement il s'agit même s'il (si elle) est mal nommé(e).

Bon, c'est vrai que de matraquer en rouge sur ce point ressemble à un gars qui gueule sur un autre : les inconvénients de l'écrit.
Christophe le sait, et, ou bien il était en colère à ce moment là, ou bien il souhaitait attirer l'attention et rendre service.
Cela dit, en gueulant, on peut rendre service également (:P)

Mais en effet l'aide demandée dans le fil n'est pas du tout l'aide reçue dans ce propos de Christophe.
Chacun en conviendra.

Edit : j'ai répondu sans savoir que Christophe répondait en même temps. Je laisse tel quel, pas d'embrouille de toute façon.

christophe c · October 2018

Pas de souci, j'ai mis en rouge justement pour la raison que tu signales, à savoir que l'erreur est très répandue, y compris en mode imprimé.

Tu avais (enfin je crois que c'est toi) parfaitement répondu pour le reste, donc je n'allais pas répéter, je sais que beaucoup d'intervenants le font, mais pas moi, si je vois que la réponse apportée va, je ne gaspille pas une virgule à la reformuler.

[small]Sinon attention quand-même à ne pas qualifier de "spécificité de logiciens" le fait de ne pas commettre une faute et de "tradition courante" une faute, sous le prétexte que des livres et des enseignants du supérieur la commettent.

On a le même phénomène avec $R(x)\to S(x)$ qui ne signifie pas $\forall x:[R(x)\to S(x)]$où on voit ici ou là des auteurs revendiquer capricieusement qu'ils continueront de commettre la faute parce "qu'ils n'ont de compte à rendre à personne" disent-ils.[/small] Bon bin, ils ont décidé (au nom du non compte-rendu :-D ) de jouer aux c..s, ce n'est pas la peine de les imiter non plus, même s'lis ne méritent pas la prison :-D

Dom · October 2018

Vu ;-)

tchoc · October 2018

Merci une fois de plus Dom pour avoir si bien résumé et dénoué ce noeud de tension : pas de foudre donc en perspective mais une belle éclaircie en ce qui me concerne.

Bon week end à tous

christophe c · October 2018

Et moi tu ne me remercies pas ? :-D (je plaisante)

Un problème avec la preuve de Cantor

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