Des curiosités (bijections explicites)

J'ai hésité à mettre ce post dans "choses trop oubliées de L1-L2" , finalement je crée un fil, car j'ai l'impression d'avoir vu plusieurs fils assez récurrents où des gens demandent des bijections "effectives". Je fais (très rapidement) un petit topo:

1/ Vous avez le théorème de Cantor Bernstein (CB), sans aucun axiome du choix qui fait tout le boulot si vous avez la flemme: il dit que si f,g sont respectivement des injections de E dans F et de F dans E, alors il existe une bijection de E dans F et sa preuve courante non formelle exprimée français le rend évident à partir d el'âge de 10ans à tout non handicapé mental.

2/ Sinon, vous pouvez tenter des constructions à la main, mais il faut parfois faire attention aux rebords, moi-même par exemple (pourtant censé êrte spécialiste), je me suis bien souvent pris les pieds dans le tapis sur le forum (oubliant l'exigence de continuité ou autre par exemple, mais il serait trop long de mettre des liens et pis mettre des liens vers des erreurs, franchement...)

3/ Beaucoup de gens sont traumatisés par la connexité de IR qui leur apparait comme un vrai frein à réussir des "trucs continus". Je signale donc, $A$ étant le fermé contenant les nombres réels dont l'écriture décimale ne contient que 3 et 5 (par exemple) que si vous avez une application de $A$ dans $\R^n$ vous pouvez la prolonger par de manière affine par morceaux (la continuité sera assurée sans fatigue, ni vérification). En effet, si u est dans $]a,b[$, plus grand intervalle disjoint de $A$ contenant $u$, vous affectez à $u$ une pondération des $f(a), f(b)$. L'existence de surjection de IR sur IR^n devient par exemple évident de cette manière (celles présentées par la littérature étant souvent fastidieuses et pleines d'indices et de limites à calculer)

4/ Quand la continuité n'est pas demandée et quand les ensembles sont de banales parties de IR "évidemment grosses" , vous pouvez procéder de la MANIERE LA PLUS SINCERE DU MONDE au lieu de demander une solution à des experts. Tous les coups sont permis et au pire vous vous servez de CB si votre sincérité ne vous donne qu'un couple d'injection.

5/ Pour finir, je rappelle que IN² == IN==IQ, que IR s'injecte dans P(IN) (puisqu'un réel n'est qu'un ensemble particulier de rationnels, l'injection n'est que ... l'identité), que P(IN) s'injecte dans IR (en écrivant, pour X inclus dans IN, ZERO virgule puis mettre 8 ou 2 par exemple à chaque digit n pour dire si oui ou non n est dans X).