Démontrer une inégalité

a.elhoussi · October 2018

Une indication pour prouver que pour tout n naturel non nul on a: (1-1/n²)ⁿ(1+1/n)<1
Merci beaucoup.

Romyna · October 2018

A-t-on tenté :
- une récurrence de la propriété sur $n$ avec : $n \in \mathbb{N}, (1-\frac{1}{n^2})^n(1+\frac{1}{n})< 1$ ?
- une étude de $f: x \in \mathbb{R^+}, f(x)= (1-\frac{1}{x^2})^x(1+\frac{1}{x})$ puis vérifié $ f(x)< 1$?

YvesM · October 2018

Bonjour,

Montre la propriété pour $n=1.$
Étudie la fonction $f: x \mapsto \ln(1-x)+(1+x)\ln(1+x), 0<x<1.$ Montre qu’elle est strictement négative. On pourra calculer $f”.$
Conclure.

a.elhoussi · October 2018

Bonsoir. Merci pour l'aide... l'exercice a été donné à des élèves de Première Sc.Maths donc je ne peux pas utiliser des outils hors programme...la fonction f est croissante sur IR₊^* et lim_x->+infini(f(x))=1 donc l'inégalité est établie..

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