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Question sur la "vérité en général"

Envoyé par BDLoglang 
Question sur la "vérité en général"
il y a onze mois
En mathématiques, on dit parfois qu'une affirmation est vraie ou fausse "en général". Néanmoins, il me semble que l'usage en la matière n'est pas très clair... Par exemple, considérons l'énoncé suivant, où $x$ est une variable réelle :

$x \leq x^2$

Diriez-vous que cet énoncé est :
  • vrai en général ?
  • faux en général ?
Dom
Re: Question sur la "vérité en général"
il y a onze mois
En effet, "en général" n'est pas du tout approprié, mathématiquement.

Cependant, ça peut se définir : "vrai sauf en nombre fini", "vrai sauf pour un ensemble de mesure nulle".

Pour cet énoncé : c'est faux tout court.
Humoristiquement, j'oserais dire que c'est à la fois faux en général et vrai en général eye rolling smiley
Re: Question sur la "vérité en général"
il y a onze mois
Cette inégalité est fausse, en général, car elle a des contrexemples.
Mais elle n'est pas [fausse en général]. En fait ça dépend de l'intonation et de si "faux" et "en général" forment un bloc sémantique ou pas.

Si tu peux accélérer dans ta tête et penser "fauxengénéral", c'est que ce n'est jamais vrai; si tu dois mettre une forme de pause comme "faux, engénéral" alors c'est que ce n'est pas toujours vrai.
En général cela se comprend à l'intonation et au contexte. Personnellement je l'entends bien plus souvent dans le sens "il y a des contrexemples", mais c'est peut-être biaisé.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Question sur la "vérité en général"
il y a onze mois
Ta formule est une formule à une variable libre $x$, je la note $F(x)$. Dire qu'elle est "vraie" ou "fausse" n'a pas de sens.

Par contre, $\forall x, (x \in \mathbb R \Rightarrow F(x))$ est fausse, tandis que $\exists x, (x \in \mathbb R \wedge F(x))$ est vraie.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par Poirot.
Re: Question sur la "vérité en général"
il y a onze mois
Il me semble qu'on doit ici comprendre "en général" comme une quantification sur $x$ : du genre, "pour tout $x$ en dehors (d'un ensemble de mesure nulle / d'un fermé d'intérieur vide / d'un nombre fini de points ...) $x\leq x^2$".
Cet énoncé ainsi quantifié est visiblement faux.

Des énoncés ainsi quantifiés visiblement vrais, quand on choisit la quantification "pou tout ... en dehors ..." adaptée au contexte : deux droites du plan se coupent en général en un point ; une matrice carrée réelle est en général inversible.

PS. "En général $x\leq x^2$" est vrai dans le contexte de la quantification "Pour tout réel $x$ en dehors d'une partie de mesure finie ... ".
L'ensemble des parties ainsi considérées comme négligeables doit avoir le bon goût de vérifier certaines propriétés, par exemple la stabilité par union finie. Alors "A(x) en général et B(x) en général" équivaut à "(A(x) et B(x)) en général".



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par GaBuZoMeu.
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