Théorie de la géométrie projective

Gaussien · October 2018

Bonjour,

Je me pose une question que je vais d'abord énoncer dans un langage simple: "Pour montrer un énoncé de la géométrie projective, suffit-il de travailler dans le plan projectif $\Bbb P^2(\Bbb R)$?".

Je reformule cela de la façon suivante, au premier ordre. Je considère un langage $\mathcal{L}$ constitué de:

un symbole de prédicat unaire $\mathcal{P}$ (voué à contenir les points)
un symbole de prédicat unaire $\mathcal{D}$ (voué à contenir les droites)
un symbole de relation binaire $\mathcal{I}$ (voué à traduire l'appartenance d'un point à une droite)

puis je considère la théorie $\mathrm{GP}$ de la géométrie projective, axiomatisée par

$\forall x \mathcal{P}(x)\lor\mathcal{D}(x)$ (tout élément est soit un point soit une droite)
$\neg\exists x \mathcal{P}(x)\land\mathcal{D}(x)$ (les droites et les points forment deux ensembles distincts)
$\forall x,y \mathcal{I}(x,y)\Longrightarrow \mathcal{P}(x)\land\mathcal{D}(y)$ (il n'y a que des points qui puissent appartenir à un élement et il n'y a que des droites qui puissent contenir des éléments)

puis par les cinq axiomes de Coxeter:

Deux points distincts étant donnés, il existe une unique droite qui les contient.
Deux droites s'intersectent en au moins un point.
Il existe quatre points trois à trois non colinéaires (un quadrangle complet).
Les points diagonaux d'un quadrangle complet ne sont pas colinéaires. (axiome de Fano)
Pour tout hexagone $AbCaBc$, s'il existe deux droites $L$ et $L'$ telles que les six sommets cet hexagone appartiennent (de façon alternée) à ces deux droites, alors les points d'intersection des diagonales de côtés opposés sont colinéaires. (axiome de Pappus)

Ma question initiale se reformule alors de la façon suivante: la théorie $\mathrm{GP}$ est-elle complète?

Merci à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.

NB: j'hésitais entre les sections "Logique" et "Géométrie" mais je pense que "Géométrie" est plus adaptée.

pappus · October 2018

Bonsoir Gaussien
Un silence de deux jours!
La théorie de la Géométrie Projective?
Plus personne ici n'en a entendu parler!
Tu ferais mieux de tenter ta chance sur le forum de Logique ou alors poser ta question sur un forum étranger!
Amicalement
[small]p[/small]appus

GaBuZoMeu · October 2018

Le plan projectif sur $\mathbb F_{17}$ ne satisfait-il pas ces axiomes ? Ainsi que le plan projectif sur $\mathbb F_{27}$ ?

christophe c · October 2018

La géométrie projective et la théorie des corps sont des traductions l'une de l'autre. On obtient "le corps" associé au plan projectif (à condition de mettre les axiomes de Veblen pour éviter les plans orphelins d'espace) en prenant 3 droites, l'un étant l'horizon, les deux autres axe des abscisses et axes des ordonnées, 2 points en plus de l'origine pour dire "c'est ça le 1 de longueur". On y définit alors NAIVEMENT et comme tout le monde pense les opérations. (je détaillerai).

Il suit qu'aucun axiome ne peut remplacer l'infinité des axiomes qui rendent le corps réel complet (oui algébriquement clos), donc qu'on n'aura jamais une théorie complète avec un nombre fini d'axiomes.

Bon, je viens de poster très très vite, je peaufinerai et corrigerai d'éventuels malentendus plus tard mais dans la journée par d'inquiétude.

christophe c · October 2018

Plutôt que modifier, je donne des précisions.

1/ On est dans un plan projectif $P$, et on prend (n'importe quelle) droite $h$. On l'appelle "l'horizon".

2/ Alors $P\setminus h$ se comporte comme un plan affine ( "||" voudra dire phonétiquement "parallèle à") dès lors que $d||d'$ abrège $<<d=d'$ ou $d,d'$ se coupent sur $h>>$

3/ Plaçons-nous dans un plan affine Q et choisissons 2 droites différentes $X,Y$ appelées respectivement "axe des abscisses" et "axes des ordonnées".

4/ Appelons "origine" le point où elles se coupent.

5/ Sur $X$ prenons un point $A$ que l'on considère comme le point de coordonnée $(1,0)$

6/ Sur $Y$ prenons un point $B$ que l'on considère comme le point de coordonnée $(0,1)$

7/ La droite $(AB)$ sera utile, je l'abrège par $t$.

8/ Soit $U$ un point. Son abscisse est le point de $X$ qui se trouve sur la parallèle à $Y$ qui passe par $U$. Def anal pour "ordonnée de $U$".

9/ Addition: soient 3 points $r,s,z$ de $X$. Alors on définit que $z=r+s$ quand il existe deux points $F,G$ en dehors de $X$ vérifiant $OFGr$ parallélogramme et $sFGz$ parallélogramme (sauf erreur, je tape très vite)

10/ Multiplication: soient 3 points $r,s,z$ de $X$. Alors on définit que $z=r\times s$ quand il existe un point $k$ de $Y$ tel que $(kr) || t$ et $(kz)||(Bs)$ (sauf erreur)

Tu as ainsi muni $X$ d'une structure de corps à la condition de vérifier ce que tu imagines.

11/ Par ailleurs, on sait que pour les corps, il n'existe pas d'axiome qui à lui tout seul entraine que tous les polynômes non constants ont une racine.

christophe c · October 2018

12.1/ La littérature classique annonce que Désargues exprime l'associativité de $\times$ et que Pappus exprime sa commutativité.

12.2/ Mais attention, vérifie-le toi-même car les définitions que j'ai donnée du corps obtenu sont personnelles, je n'ai jamais lu la littérature classique qui fait les choses plus intrinsèquement avec les groupe des homothéties translation. Ca doit revenir + ou - au même mais attention quand-même.