Différence entre logique et fondement
Bonsoir
Récemment j’ai étudié le chapitre 0 du cours d’algèbre de Godement qui est une introduction à la logique, il pose les axiomes et on avance avec ça (le système axiomatique utilisé est celui de Bourbaki avec l’opérateur de Hilbert), bon et à partir de ça on avance et on construit les mathématiques. Le chapitre de logique m’ayant beaucoup plu, j’ai voulu étudier la logique plus en détail, du coup j’emprunte quelques livres et là je trouve que la logique utilise des notions de théorie des ensembles (on parle par exemple de mot qui est une suite d’éléments d’un ensemble etc ...), du coup je suis perdu ! Je pensais que la logique servait à ça justement, construire les maths mais là j’ai l’impression qu’on construit la logique avec la théorie des ensembles, pourriez-vous m’éclairer ? Merci par avance.
[Même polymorphe, Bourbaki a le droit à sa majuscule. AD]
Récemment j’ai étudié le chapitre 0 du cours d’algèbre de Godement qui est une introduction à la logique, il pose les axiomes et on avance avec ça (le système axiomatique utilisé est celui de Bourbaki avec l’opérateur de Hilbert), bon et à partir de ça on avance et on construit les mathématiques. Le chapitre de logique m’ayant beaucoup plu, j’ai voulu étudier la logique plus en détail, du coup j’emprunte quelques livres et là je trouve que la logique utilise des notions de théorie des ensembles (on parle par exemple de mot qui est une suite d’éléments d’un ensemble etc ...), du coup je suis perdu ! Je pensais que la logique servait à ça justement, construire les maths mais là j’ai l’impression qu’on construit la logique avec la théorie des ensembles, pourriez-vous m’éclairer ? Merci par avance.
[Même polymorphe, Bourbaki a le droit à sa majuscule. AD]
Réponses
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De mon téléphone: tu te demandes qui vient en premier de la poule ou de l'oeuf. C'est une intéressante question.
Dans ton cas, ce sui vient en premier est le langage ultrasimplifie de la science , qui a été découvert comme générant NATURELLEMENT des axiomes. Ceux-ci forment un système trop fort qui est contradictoire. Ils ont donc été bridés. Et c'est ce bridage qui te donne l'impression d'être perdu et non la question originelle.
Donc je te décrirai le début d'un PC sans le bridage et tu verras que c'est très très simple.
En gros poule et oeuf viennent en même temps pour ce qui concerne la science.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Camyl : d'abord, si tu veux comprendre un jour quelque chose à la logique il faut que tu commences par oublier tout ce que tu as pu lire dans le Chapitre 0 de Godement. Si mes souvenirs sont bons ce truc est truffé d'erreurs et d'approximations grossières, et de plus il utilise un vocabulaire bourbakiste, alors qu'il n'y a plus personne qui fait des maths comme ça aujourd'hui.
Pour le reste Christophe a raison : l'oeuf et la poule arrivent en même temps.
En effet, tu as besoin d'un vocabulaire ensembliste de base pour définir les suites finies de symboles, les mots, les formules etc.
Mais une fois que tu as fixé les règles de base de la logique tu peux alors commencer à poser des axiomes, puis à construire le monde des ensembles, et avec lui le reste des maths.
Tout ceci est très bien expliqué dans le livre de René Cori et Daniel Lascar : "Logique mathématique" (2 tomes). -
Je vous remercie pour vos réponses.
Le livre de René Cori est l’un des livres que j’ai emprunté justement, avec celui de Roland Fraisse. Je vais donc étudier un peu plus cela et voir comment ça évolue. Pour Bourbaki j’ai en effet entendu beaucoup de mal à propos de leur construction logique, étant donné que je suis débutant je n’arrive pas encore à voir ces subtilités et pour moi je trouvais ça assez génial car j’avais l’impression que c’était très précis. Du coup je vais plutôt me concentrer sur la partie Algèbre du cours de Roger Godement et voir en parallèle la logique dans le livre de René Cori et celui de Roland Fraisse. Encore merci pour vos réponses.
[Même polycéphale, Bourbaki a le droit à sa majuscule. AD] -
J'en reviens rapidement sur la poule et l'oeuf d'un pc. Mais je ne vais pas beaucoup détailler.
La science est le maths cherchent ce qui est formellement sûr (l'adverbe est important).
Une conséquence de ça est que ce qui est supposé ne doit pas être caché sous le tapis. Cette exigence est une exigence à propos du langage (puisque ce qui est supposé se voit ou ne se voit pas en fonction du langage que tu utilises)
Par ailleurs, tout le monde a admis que "faire des abréviations" est autorisé et inoffensif.
Dès lors, quand on utilise aucun axiome, et quand on se contente de faire des abréviations, on prétend être sûr et certain formellement de ce qu'on a prouvé.
Hélas, hélas, ces seuls droits permettent de prouver que $0=1$.
A partir de là, comme, même ne rien supposer et se contenter de faire des abréviations suffit à prouver tout ce qu'on veut, tu imagines bien que les bridages qui ont été ensuite "improvisés" peuvent avoir un petit gout arbitraire. Mais il ne faut pas se tromper: ce ne sont pas des choses EN PLUS, ce sont des choses EN MOINS.
La conclusion de tout ça est qu'on a poule et oeuf de toute éternité et qu'on n'a pas de problème. Par contre, "on a trop".
Dans la suite je te raconterai comment on a bridé ce qu'on pouvait se permettre dans la "vague et arbitraire" espoir d'obtenir des théories incluses dans le "on travaille sans axiome", qui en plus sont espérées consistantes.
Annexe: je te prouve que $0=1$.
J'abrège $a(x):=(x(x)\to (0=1))$
Il suit (0) $a(a) = (a(a)\to (0=1))$
(1) donc $(a(a))\to ((a(a))\to (0=1))$
(2) donc $(a(a))\to (0=1)$
(3) donc $a(a)$ d'après (0)
donc $0=1$ d'après 2+3
Je n'ai utilisé aucun axiome. Il s'agit juste de notre "aptitude à parler et écrire" qui est en cause.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
La justification donnée dans le (3) me semble incorrecte. Je crois qu'il faut simplement utiliser la définition de $a$ où sa conséquence sur ce que signifie $a(a)$ (deuxième ligne en bleu). -
Merci pour avoir signalé cette coquille. Oui c'est "d'après (0)". Je modifierai d'un PC.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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