Une "trivialité" (très dure à prouver)
Soit $n>1$ un entier. On dote $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
$<<X$ est un pavé$>>$ abrège $<<$ il existe $f$ isométrie et $g$ application linéaire dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g>>$
$<<X$ est un pavé droit$>>$ abrège $<<$ il existe $f$ translation et $g$ application linéaire bijective dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g>>$
Soit $A$ un pavé droit *** et $B$ une partie de $A$ partitionnée via $P$ en un nombre fini de pavés (autrement dit $B$ est l'union de $P$, $P$ est fini et $P$ ne contient que des pavés comme éléments) telle que $A\setminus B$ est d'intérieur vide.
Prouver que tous les éléments de $P$ sont "droits".
*** merci GBZM j'avais écrit pavé tout court
$<<X$ est un pavé$>>$ abrège $<<$ il existe $f$ isométrie et $g$ application linéaire dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g>>$
$<<X$ est un pavé droit$>>$ abrège $<<$ il existe $f$ translation et $g$ application linéaire bijective dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g>>$
Soit $A$ un pavé droit *** et $B$ une partie de $A$ partitionnée via $P$ en un nombre fini de pavés (autrement dit $B$ est l'union de $P$, $P$ est fini et $P$ ne contient que des pavés comme éléments) telle que $A\setminus B$ est d'intérieur vide.
Prouver que tous les éléments de $P$ sont "droits".
*** merci GBZM j'avais écrit pavé tout court
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
L'initialisation est triviale, et pour l'hérédité il suffit de trouver un pavé qui soit droit (par exemple, un dont une des face est incluse dans l'une des face du polyèdre en question) et de le retirer.
*ici par droit j'entends inclus dans un translaté d'un hyperplan de la forme $x_i=0$, où $(e_1,...,e_n)$ est la base canonique.
il me semble que la propriété est fausse.
Dans $\mathbf{R}^2$ les pavés droits sont les rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes.
Les segments parallèles aux axes sont aussi des pavés ( non droits car correspondant à un $g$ non bijectif ).
En prenant
$A=B=]0,1[^2$
et
$P=\bigl\lbrace ]0,\frac12[\times]0,1[\,; \lbrace\frac12\rbrace\times]0,1[\,; ]\frac12,1[\times]0,1[\bigr\rbrace$
on a une partition qui correspond à la définition et dont un élément n'est pas un pavé droit.
Ce qui donnerait
<< $X$ est un pavé >> abrège << il existe $f$ isométrie et $g$ application linéaire bijective dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g$ >>
En espérant avoir compris correctement l'énoncé et ne pas avoir raté une difficulté, resterait à voir si ce type de raisonnement se généralise aux dimensions supérieures.
J'ai donné un contre-exemple à ta conjecture.
Et une modification possible de la conjecture permettant d'éliminer le contre-exemple.
J'espérais une réaction, mais je n'attends plus rien.
Manifestement, à part Georges Abitbol, aucun des intervenants n'a pris la peine de lire mon premier message.
Si on n'impose pas "bijective" dans la définition de "pavé", on a effectivement ton contre-exemple.
On peut aussi se demander ce qu'il en est si on n'impose "bijective" ni dans la définition de pavé ni dans celle de pavé droit.