Une "trivialité" (très dure à prouver)

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
Soit $n>1$ un entier. On dote $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

$<<X$ est un pavé$>>$ abrège $<<$ il existe $f$ isométrie et $g$ application linéaire dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g>>$

$<<X$ est un pavé droit$>>$ abrège $<<$ il existe $f$ translation et $g$ application linéaire bijective dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g>>$


Soit $A$ un pavé droit *** et $B$ une partie de $A$ partitionnée via $P$ en un nombre fini de pavés (autrement dit $B$ est l'union de $P$, $P$ est fini et $P$ ne contient que des pavés comme éléments) telle que $A\setminus B$ est d'intérieur vide.

Prouver que tous les éléments de $P$ sont "droits".

*** merci GBZM j'avais écrit pavé tout court
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Je précise que je ne sais même pas si c'est vrai. Si oui, je ressens cet énoncé un peu comme celui de Jordan.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu as oublié de dire que $A$ est un pavé droit ? Sinon c'est évidemment faux.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone: oulala OUI MERCI!!!!! A est comme le dit GBZM supposé être un pavé droit
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • L'Axone du Choix
    L'Axone du Choix
    Est-ce qu'on ne peut pas prouver par récurrence que si un polyèdre dont tous les côtés sont droits* est pavé par des pavés alors chaque pavé est droit?
    L'initialisation est triviale, et pour l'hérédité il suffit de trouver un pavé qui soit droit (par exemple, un dont une des face est incluse dans l'une des face du polyèdre en question) et de le retirer.

    *ici par droit j'entends inclus dans un translaté d'un hyperplan de la forme $x_i=0$, où $(e_1,...,e_n)$ est la base canonique.
  • verdurin
    verdurin
    Bonjour,
    il me semble que la propriété est fausse.

    Dans $\mathbf{R}^2$ les pavés droits sont les rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes.
    Les segments parallèles aux axes sont aussi des pavés ( non droits car correspondant à un $g$ non bijectif ).

    En prenant
    $A=B=]0,1[^2$
    et
    $P=\bigl\lbrace ]0,\frac12[\times]0,1[\,; \lbrace\frac12\rbrace\times]0,1[\,; ]\frac12,1[\times]0,1[\bigr\rbrace$
    on a une partition qui correspond à la définition et dont un élément n'est pas un pavé droit.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Oui mais si tu enlèves ton segment, et que tu appelles $B'$ la réunion des deux autres, alors $A \setminus B'$ est d'intérieur vide.
  • verdurin
    verdurin
    Je penche plutôt vers l'oubli du mot « bijective » dans la définition d'un pavé.
    Ce qui donnerait

    << $X$ est un pavé >> abrège << il existe $f$ isométrie et $g$ application linéaire bijective dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[^n$ par $f\circ g$ >>
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Oulalala j'ai fait une belle faute de logique, scusez-moi !
  • christophe c
    christophe c
    @Verdurin, je n'ai pas compris ce que tu voulais dire dans il est facile de? Ni, vraiment ici?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • JLT
    JLT
    Je n'ai pas vraiment réfléchi à la question, mais j'imagine que dans $\R^2$ on peut faire quelque chose comme ceci : on part d'un rectangle oblique. On prend le coin le plus à droite. Ce coin touche un autre rectangle oblique. On prend le coin le plus à droite de ce deuxième rectangle, etc. et on continue jusqu'à atteindre le bord droit. Or, si le coin d'un rectangle touche le bord, ce rectangle doit être droit.

    En espérant avoir compris correctement l'énoncé et ne pas avoir raté une difficulté, resterait à voir si ce type de raisonnement se généralise aux dimensions supérieures.
  • verdurin
    verdurin
    @christophe c.
    J'ai donné un contre-exemple à ta conjecture.

    Et une modification possible de la conjecture permettant d'éliminer le contre-exemple.

    J'espérais une réaction, mais je n'attends plus rien.
    Manifestement, à part Georges Abitbol, aucun des intervenants n'a pris la peine de lire mon premier message.
  • L'Axone du Choix
    L'Axone du Choix
    Verdurin: j'ai lu ton contre-exemple et je n'y ai pas réagi car j'avais interprété "pavé" comme "il existe $f $ isométrie et $g$ application linéaire bijective dont la matrice dans la base canonique est diagonale telles que $X$ est l'image directe de $]0,1[$ par $f \circ g$", auquel cas ma preuve est correcte.
    Si on n'impose pas "bijective" dans la définition de "pavé", on a effectivement ton contre-exemple.
    On peut aussi se demander ce qu'il en est si on n'impose "bijective" ni dans la définition de pavé ni dans celle de pavé droit.
  • christophe c
    christophe c
    Aaaaah ok oui il restait une coquille car j'avais fait un copier-coller. Pardon Verdurin et merci (bijectif est à mettre dans LES DEUX abréviations)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

Amadoutopopot +1 Invité