Exercice sur les quantificateurs

MERRi
MERRi
dans Fondements et Logique
Bonjour
Je suis en PES Descartes (l1 maths info sur deux ans) et j'ai pour la première fois des cours de langage et raisonnement mathématiques.
J'ai beaucoup de difficultés en ce qui concerne un type d'exercice en particulier. Je suis donc venu vous demander s'il existe une/des méthodes pour le résoudre.

Voici l'énoncé en question.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
1. ?C ? R, ?x ? I, f (x) = C
2. ?x ? I, (f (x) = 0 ? x = 0)
3. ?y ? R, ?x ? I, f (x) = y

Je comprends bien la partie des quantificateurs (pour tout/il existe au moins un/il existe un unique x dans un certain intervalle), c'est la partie après la virgule que j'ai du mal à traduire.
Ma question est donc: quelles sont les meilleures méthodes pour faire ce genre d'exercice ?
(je ne demande pas les résultats que j'ai pu obtenir, seulement un procédé qui pourrait m'aider à refaire l'exercice en partiel par exemple...)
Merci d'avance.

[Énoncé corrigé là. AD] http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1737438,1737562#msg-1737562

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tes formules ne sont pas passées.
  • Poirot
    Poirot
    Pour les quantificateurs en LaTeX il suffit de connaître 
    \exists

    qui donne $\exists$ et 
    \forall

    qui donne $\forall$.

    Il te suffit de tout mettre entre dollars.
  • MERRi
    MERRi
    Bonjour
    Je suis en PES Descartes (l1 maths info sur deux ans) et j'ai pour la première fois des cours de langage et raisonnement mathématiques.
    J'ai beaucoup de difficultés en ce qui concerne un type d'exercice en particulier. Je suis donc venu vous demander s'il existe une/des méthodes pour le résoudre.

    Voici l'énoncé en question.
    Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
    1. $\exists$ C dans R, $\forall$ x dans I, f (x) = C
    2. $\forall$ x dans I, (f (x) = 0 ==> x = 0)
    3. $\forall$ y dans R, $\exists$ x dans I, f (x) = y

    Je comprends bien la partie des quantificateurs (pour tout/il existe au moins un/il existe un unique x dans un certain intervalle), c'est la partie après la virgule que j'ai du mal à traduire.
    Ma question est donc: quelles sont les meilleures méthodes pour faire ce genre d'exercice ?
    (je ne demande pas les résultats que j'aurai pu obtenir, seulement un procédé qui pourrait m'aider à refaire l'exercice en partiel par exemple...)

    Merci d'avance.
  • MERRi
    MERRi
    Bonjour,
    Merci de vos réponses, mon message a pu être posté convenablement et sans problème.
    Bonne journée !
  • christophe c
    christophe c
    il existe un unique x dans un certain intervalle), c'est la partie après la virgule que j'ai du mal à traduire.

    Tu comprends donc tout, c'est un exercice-blague, puisqu'il est souvent difficile de faire des phrases élégantes pour exprimer en français une formule mathématique.

    <<f(x)=y>> peut se dire << l'image de x par f est y>>, mais de toute façon c'est mieux de dire "f(x)=y"

    Sache cependant que A=>B se traduit en français par "si A alors B".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Comme l'a dit CC, tu as compris le plus dur.

    Pour la $1$ par exemple, ta formule veut dire que la fonction $f$ prend uniquement une certaine valeur $C$, autrement dit, $f$ est constante.

    La deuxième veut dire que le seul endroit où $f$ s'annule éventuellement sur $I$ est $0$.

    Enfin la dernière veut dire que $f$ est surjective de $I$ dans $\mathbb R$.
  • christophe c
    christophe c
    Attention la 1 veut dire que f prend une unique valeur. "C" est une variable liée.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Merci, tu as raison, j'ai corrigé.
  • MERRi
    MERRi
    Merci de vos réponses, je pense que je vais pourvoir y arriver
    Mais dans la 1), puisqu'on nous dit que f prend une unique valeur "C", pourquoi ne pas marquer $\exists$ ! C dans R ?
  • Poirot
    Poirot
    Parce que ces deux formules sont équivalentes lorsque $f$ désigne une fonction.
  • christophe c
    christophe c
    Parce que c'est un exerice, c'est comme si tu demandais "pourquoi vous ne demandez pas de résoudre $[x=7; inconnue \ x]$ plutôt que $[3x-20 = x-6]$, vu que ces équations ont les mêmes solutions?"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • 0ka
    0ka
    Non, ces deux formules ne sont pas équivalentes
  • christophe c
    christophe c
    Je donne des précisions car je suis connecté:

    1/ oka répond à Poirot

    2/ La formule $\exists C: Im(f) = \{C\}$ est équivalente à la formule $\exists ! C : Im(f) = \{C\}$

    3/ En toute généralité, $\exists C\forall x\in \emptyset : f(x)=C$ est vrai pour toute fonction alors que $\exists ! C: \forall x\in \emptyset : f(x)=C$ est fausse pour toute fonction.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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