Topologie
Une fois tous les 2 ou 3 mois je propose de m'ouvrir la rubrique "topologie" en écriture. J'aurais pu poster ce qui suit dans "classiques L1-L2 trop oubliés" et envoyer un MP, mais ça peut faire un peu bizarre. Ou ne rien faire.
Ça ne me dérange pas si la réponse est négative, je repropose juste car ça fait longtemps que je ne l'ai pas fait. C'est vraiment pour aider, j'avais vu le fil du lien suivant assez longtemps avant que des gens répondent à Nicolaz, ça me fait juste penser que c'est "tristounet" que je n'ai alors pas pu l'aider.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1737588,1737652#msg-1737652
1/ Nicolaz s'est trompé, le nombre minimum $m$ parmi les $d(x,f(x))$ est unique, mais il peut y avoir foule de $x$ tels que $d(x,f(x)) = m$, donc même son petit $a$ est raté
2/ Si $d(a,f(a)) = m$, alors $a=f(a)$, puisque sinon $d(a,f(a)) > d(f(a), f(f(a)))$
(Autrement dit, l'amour de Nicolaz pour $m$ lui donnait une partie de son petit b)
3/ Si pour tout entier $n: u(n+1) = f(u(n))$ alors si $s$ adhère à $u$ alors $f(s)$ adhère aussi à $u$. En notant $A$ l'ensemble des valeurs qui adhèrent à $u$, prouver que $A$ est compact et $ImagePar(f,A)\supseteq A$, puis déduire que $card(A)\leq 1$ donc $=1$.
Ça ne me dérange pas si la réponse est négative, je repropose juste car ça fait longtemps que je ne l'ai pas fait. C'est vraiment pour aider, j'avais vu le fil du lien suivant assez longtemps avant que des gens répondent à Nicolaz, ça me fait juste penser que c'est "tristounet" que je n'ai alors pas pu l'aider.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1737588,1737652#msg-1737652
1/ Nicolaz s'est trompé, le nombre minimum $m$ parmi les $d(x,f(x))$ est unique, mais il peut y avoir foule de $x$ tels que $d(x,f(x)) = m$, donc même son petit $a$ est raté
2/ Si $d(a,f(a)) = m$, alors $a=f(a)$, puisque sinon $d(a,f(a)) > d(f(a), f(f(a)))$
(Autrement dit, l'amour de Nicolaz pour $m$ lui donnait une partie de son petit b)
3/ Si pour tout entier $n: u(n+1) = f(u(n))$ alors si $s$ adhère à $u$ alors $f(s)$ adhère aussi à $u$. En notant $A$ l'ensemble des valeurs qui adhèrent à $u$, prouver que $A$ est compact et $ImagePar(f,A)\supseteq A$, puis déduire que $card(A)\leq 1$ donc $=1$.
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Réponses
soit $u$ une suite telle que $f\circ u = u\circ (n\mapsto n+1)$. Soit $n$ supergrand. Soit $a$ superproche de $u_n$ et std, choisi de sorte que $dist(a,f(a))$ soit minimal. Alors $a=f(a)$, car sinon, en considérant $(u(n+1), u(n+1))$ au lieu de $(u(n),u(n+2))$...
Vue la décroissance de $n\mapsto (dist(u_n, u_{n+1}))$, $u$ tend vers $a$.
Ca évite d'avoir deux étapes trop distinctes.
soit $E$ métrique compact, $f:E\to E$ telle que $\forall x,y: dist(f(x),f(y)) \geq dist(x,y)$.
Prouver que $\forall x,y: dist(f(x),f(y)) = dist(x,y)$
qui mobilise des inspirations similaires.