Topologie

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
Une fois tous les 2 ou 3 mois je propose de m'ouvrir la rubrique "topologie" en écriture. J'aurais pu poster ce qui suit dans "classiques L1-L2 trop oubliés" et envoyer un MP, mais ça peut faire un peu bizarre. Ou ne rien faire.

Ça ne me dérange pas si la réponse est négative, je repropose juste car ça fait longtemps que je ne l'ai pas fait. C'est vraiment pour aider, j'avais vu le fil du lien suivant assez longtemps avant que des gens répondent à Nicolaz, ça me fait juste penser que c'est "tristounet" que je n'ai alors pas pu l'aider.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1737588,1737652#msg-1737652

1/ Nicolaz s'est trompé, le nombre minimum $m$ parmi les $d(x,f(x))$ est unique, mais il peut y avoir foule de $x$ tels que $d(x,f(x)) = m$, donc même son petit $a$ est raté

2/ Si $d(a,f(a)) = m$, alors $a=f(a)$, puisque sinon $d(a,f(a)) > d(f(a), f(f(a)))$

(Autrement dit, l'amour de Nicolaz pour $m$ lui donnait une partie de son petit b)

3/ Si pour tout entier $n: u(n+1) = f(u(n))$ alors si $s$ adhère à $u$ alors $f(s)$ adhère aussi à $u$. En notant $A$ l'ensemble des valeurs qui adhèrent à $u$, prouver que $A$ est compact et $ImagePar(f,A)\supseteq A$, puis déduire que $card(A)\leq 1$ donc $=1$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Mon statut n'ayant pas changé (pas d'accès à topologie), je complète le fil avec un ANS-argument:

    soit $u$ une suite telle que $f\circ u = u\circ (n\mapsto n+1)$. Soit $n$ supergrand. Soit $a$ superproche de $u_n$ et std, choisi de sorte que $dist(a,f(a))$ soit minimal. Alors $a=f(a)$, car sinon, en considérant $(u(n+1), u(n+1))$ au lieu de $(u(n),u(n+2))$...

    Vue la décroissance de $n\mapsto (dist(u_n, u_{n+1}))$, $u$ tend vers $a$.

    Ca évite d'avoir deux étapes trop distinctes.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Après concertation avec l'équipe de modération, nous t'avons autorisé à poster de nouveau en Topologie. Fais-en bon usage.
  • christophe c
    christophe c
    Merci beaucoup. Je me rappellerai que j'ai fait cette proposition uniquement pour rendre service quand je vois que des intervenants habituellement en mesure de répondre sont absents.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Dans la même veine, je rappelle qu'il a été très souvent question sur le forum de l'exo classique:

    soit $E$ métrique compact, $f:E\to E$ telle que $\forall x,y: dist(f(x),f(y)) \geq dist(x,y)$.
    Prouver que $\forall x,y: dist(f(x),f(y)) = dist(x,y)$

    qui mobilise des inspirations similaires.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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