Passage d'une théorie à une autre - Topoi
Bonjour à tous,
Je fais appel à vous, chers visiteurs du forum pour m'éclairer la chose suivante :
D'abord, je vous informe que je n'ai appris la théorie des topoi que à travers des cours en ''anglais'', alors, dans le présent fil, je n'utiliserai dans la suite que une terminologie anglaise pour discuter de théorie des topoi. ( J'espère que vous me tolérerez ça :-) )
On sait qu'on peut classifier une first order theory $ \mathbb{T} $ ( a Geometric theory plus précisément ) par son classifying topos $ \mathcal{E}_{ \mathbb{T} } $ ( qui existe en effet ), néanmoins, je n'arrive pas à comprendre pourquoi les topoî constituent des ''bridges'' ( i.e : ponts ) entre différents théories mêmes éloignés les unes aux autres ?
Merci d'avance.
edit :
Pour bien illustrer la situation, comment peut-on passer par le biais d'un geometric morphism entre deux topoi qui est an equivalence of topoi ( J'imagine qu'il s'agira de deux classifying topoi en fait, mais je ne sais pas encore ) de la géométrie non commutative par exemple à la géométrie algébrique, et inversement pour ceux qui ont une idée de ces deux théories. Je ne suis pas encore bien à l'aise en géométrie non commutative, mais je peux comprendre rapidement si vous m'aidez.
Je fais appel à vous, chers visiteurs du forum pour m'éclairer la chose suivante :
D'abord, je vous informe que je n'ai appris la théorie des topoi que à travers des cours en ''anglais'', alors, dans le présent fil, je n'utiliserai dans la suite que une terminologie anglaise pour discuter de théorie des topoi. ( J'espère que vous me tolérerez ça :-) )
On sait qu'on peut classifier une first order theory $ \mathbb{T} $ ( a Geometric theory plus précisément ) par son classifying topos $ \mathcal{E}_{ \mathbb{T} } $ ( qui existe en effet ), néanmoins, je n'arrive pas à comprendre pourquoi les topoî constituent des ''bridges'' ( i.e : ponts ) entre différents théories mêmes éloignés les unes aux autres ?
Merci d'avance.
edit :
Pour bien illustrer la situation, comment peut-on passer par le biais d'un geometric morphism entre deux topoi qui est an equivalence of topoi ( J'imagine qu'il s'agira de deux classifying topoi en fait, mais je ne sais pas encore ) de la géométrie non commutative par exemple à la géométrie algébrique, et inversement pour ceux qui ont une idée de ces deux théories. Je ne suis pas encore bien à l'aise en géométrie non commutative, mais je peux comprendre rapidement si vous m'aidez.
Réponses
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Géométrie algébrique et géométrie non commutative ne sont pas des first order theories, donc ça n'a pas de raison de s'appliquer
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Dommage Maxtimax. ça voudrait dire que la géométrie algébrique et la géométrie non commutative ne sont pas concernées par la théorie des topoî, et qu'on ne peut pas transférer des propriétés existant en géométrie algébrique vers la géométrie non commutative et inversement, comme annoncé dans la thèse de Olivia Caramelo disponible sur le net ?
Concernant ma question initiale, qu'est ce que ça voudrait dire concrètement et en détail, que les topoî sont des ''bridges'' qui permettent le transfert de propriétés d'une théorie à une autre ? Comment cela se fait-t-il concrètement en utilisant la relation d'equivalence : Morita equivalence ?
Merci d'avance. -
Au juste, comment veux-tu comprendre une équivalence de Morita si la détermination du rang d'une application linéaire de $\R^3$ dans $\R^3$ te pose problème ? Et encore, c'est sans doute le plus simple des concepts énoncés ici.
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Non Math Coss, j'ai appris toute la théorie des topoi sans aucune difficulté, malgré mes questions bêtes que j'ai posé sur le fil d'algèbre linéaire que tu mentionnes. Ne t'inquiète pas, je sais ce que je fais. :-)
Il me suffit maintenant de récapituler tout ce que j'ai appris en logique et théorie des topoi pour sortir avec une conclusion qui résume toute la phénoménologie derrière la théorie de l'unification mathématique. D'où mes questions que j'ai posé plus haut au début du fil ... :-) -
Si tu as appris "toute la théorie des topoi" tu devrais pouvoir répondre à ta propre question: si tu as une théorie $T$ de classifiant $\mathcal{E}_T$, à quoi correspondent les morphismes géométriques $\mathcal{E}_T\to \mathcal{E}$ pour un topos $\mathcal{E}$ quelconque ?
Tu peux alors en déduire ce que t'apporte une équivalence géométrique de topoi entre $\mathcal{E}_T$ et $\mathcal{E}_{T'}$ par rapport à $T,T'$ -
Maxtimax a écrit:Si tu as une théorie $T$ de classifiant $\mathcal{E}_T$, à quoi correspondent les morphismes géométriques $\mathcal{E}_T\to \mathcal{E}$ pour un topos $\mathcal{E}$ quelconque ?
Les morphismes géométriques $\mathcal{E}_T \to \mathcal{E}$ pour un topos $\mathcal{E}$ quelconque correspondent aux $ T $ - models $ M $ de la catégorie of models $ T $ - $ \mathrm{mod} ( \mathcal{E} ) $ dans $ \mathcal{E} $, non ?Maxtimax a écrit:Tu peux alors en déduire ce que t'apporte une équivalence géométrique de topoi entre $\mathcal{E}_T$ et $\mathcal{E}_{T'}$ par rapport à $T,T'$
Alors, à une équivalence géométrique de topoi entre $\mathcal{E}_T$ et $\mathcal{E}_{T'}$ par rapport à $T,T'$ qu'on note par exemple : $ f \ : \ \mathcal{E}_T \ \longrightarrow \ \mathcal{E}_{T'} $ correspond un foncteur : $ T - \mathrm{mod} (f^* ) \ : \ T - \mathrm{mod} ( \mathcal{E}_T ) \ \longrightarrow \ T - \mathrm{mod} ( \mathcal{E}_{T'} ) $, défini par : $ T - \mathrm{mod} ( f^* ) ( U_T' ) = f^* (U_{T'}) $ avec : $ f^* (U_{T'}) $ le pull - back de $ f $ du universel model de $ T' $ dans $ \mathcal{E}_{T'} $ qui induit une équivalence de catégories., non ?
A une équivalence de catégories : $ T - \mathrm{mod} (f^* ) \ : \ T - \mathrm{mod} ( \mathcal{E}_T ) \ \longrightarrow \ T - \mathrm{mod} ( \mathcal{E}_{T'} ) $, correspond via Morita équivalence à une identification des deux théories $ T $ et $ T' $ telle que : $ T \sim T' $, non ?
Si ce que j'ai affirmé çi - dessus se révèle être correct, qu'est ce que ça veut dire que deux théories sont identiques : $ T \sim T' $ ? et comment dans ce cas là, le transfert de propriétés de $ T$ vers $ T' $ et inversement se met concrètement en place ? Pouvez vous me donner un exemple s'il vous plaît ?
Merci infiniment. -
En fait tu peux dire encore mieux, si tu as un topos $\mathcal{E}$ quelconque, et que $f: \mathcal{E}_T\to\mathcal{E}_{T'}$ est une équivalence tu auras que $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}_{T'},\mathcal{E}) \simeq \mathrm{Geom}(\mathcal{E}_T,\mathcal{E})$ via précomposition avec $f$ : les modèles de $T$ et de $T'$ sont les mêmes dans tout topos.
Un tout petit peu plus concrètement, si tu as une propriété sur les modèles de $T$, via cette équivalence tu peux la transférer aux modèles de $T'$ en composant par $f$ -
Merci Maxtimax.
Il me reste juste une question :
Le développement qu'on a fait dans les messages précédents ne porte que sur des théories de first order, non ? Comment on va faire alors pour les autres théories qui ne sont pas de first order ? Par exemple, pour la géométrie algébrique et la géométrie non commutative, qui ne sont pas des théories de first order d'après un de tes messages précédents Maxtimax, y'a t-il moyen de transférer des propriétés entre ces deux théories que ce soit en utilisant ce qu'on a développé plus haut, ou à travers un autre moyen à préciser ?
Il y'a une ressemblance entre le Nullstellensatz theorem qui est une propriété relevant de la géométrie algébrique, et le Gelfand-Naimark theorem qui relève de la géométrie non commutative. C'est ce qui me pousse à dire qu'il existe moyen de transférer les propriétés de la géométrie algébrique vers la géométrie non commutative et inversement, non ? Qu'est ce t'en penses ?
Merci d'avance. -
Un topos a un langage interne capable d'exprimer une logique d'ordre supérieur, donc toutes les higher order theories ont peut-être un truc du même genre qui marche.
Le problème avec géométrie algébrique et géométrie non commutative c'est que (à ma connaissance) ce ne sont des théories qu'en un sens vague, de langage courant, du terme et donc on ne peut pas appliquer un truc mathématique dessus. Mais je n'en sais pas plus -
@Pablo : tu ne veux pas faire l'effort de parler un minimum français ? Je comprends que tu puisses ne pas connaître la traduction de tous les termes, mais c'est si dur d'écrire "théorie du premier ordre" au lieu de "first order theory" et "théorème de Gelfand-Naimark" au lieu de "Gelfand-Naimark theorem" ?
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@Poirot
Avec tout le respect que je te dois, est ce que ta remarque, ce n'est pas un ``peu petit'' ? Oui, non ? Bien sûr que cela serait mieux en français.
Mais n'oublie pas qu'ici, on est au dessus du panier en jonglant entre géométrie algébrique et géométrie non commutative. Moi, cela m'impressionne. Par conséquent, peut-être (je dis bien peut-être) quelques petits écarts pourraient être permis. Oui, non ?
Et sans aucun doute, on va apprendre quelque chose dans ce fil de logique. C'est pas tous les jours que ...
Bien à toi. -
Bonsoir,
Je suis ravi que Claude Quitté vient participer à cette discussion. ( Vue son immense culture mathématique dont il jouit :-) )
D'abord, je ne prétends pas être pro en logique et topoi theory, pour que vous soyez tous au courant. ;-)
Alors, retournons à notre sujet de départ.
J'ai fait un périple sur le net pendant ce petit temps de pause depuis hier, et voici ce que je constate :
Il y'a correspondance entre les éléments suivants :
- First order logic $ \ \longleftrightarrow \ $ First order theories $ \ \longleftrightarrow \ $ $ \ \ 1 $ - catégories ( Les catégories usuelles comme $ \mathrm{Ens} $ ) $ \ \longleftrightarrow \ $ $1$ - Topoi appartenant au monde des $2$ - catégories ( Les topoi usuelles discutés depuis le début de ce fil ).
- $2$-order logic $ \ \longleftrightarrow \ $ $2$ - order theories $ \ \longleftrightarrow \ $ $ \ \ 2 $ - catégories ( comme $ \mathrm{Cat} $ : la catégorie de toutes les catégories ) $ \ \longleftrightarrow \ $ $2$ - Topoi appartenant au monde des $3$ - catégories
...
- $n$-order logic $ \ \longleftrightarrow \ $ $n$ - order theories $ \ \longleftrightarrow \ $ $ \ \ n $ - catégories ( catégories de toutes les $n-1$ - catégories ) $ \ \longleftrightarrow \ $ $n$ - Topoi appartenant au monde des $n+1$ - catégories
...
- $\infty$ -order logic $ \ \longleftrightarrow \ $ $ \ \ \infty $ - order theories $ \ \longleftrightarrow \ $ $ \ \ \infty $ - catégories ( catégories de toutes les $\infty$ - catégories ) $ \ \longleftrightarrow \ $ $ \infty $ - Topoi appartenant au monde de la catégorie de toutes les $ \infty $ - catégories.
Voilà donc comment je vois les choses. C'est correct ?
Concernant la géométrie algébrique ainsi que la géométrie non commutative, à quelle étape de ce qui vient être dit, peut on situer ces deux théories ? C'est à dire, pour quel $ n $, ces deux théories sont des $ n $ - order théories ?
Merci d'avance. -
:-D
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Pablo : je ne pense pas que ce soit correct. Un $(1-)$topos est capable d'interpréter la logique d'ordre supérieure (mots clés en anglais : higher order intuitionistic logic, internal logic, internal language of topoi). Les $n$ ($n$ potentiellement $\infty$) -catégories sont encore un autre délire.
Enfin je ne suis pas expert mais a priori ça n'a rien à voir (les $\infty$-catégories sont plus liées, en termes de logique, à la théorie homotopique des types) -
Maxtimax. a écrit:Un $(1-)$topos est capable d'interpréter la logique d'ordre supérieure
Oui, comme le $1$- topoi $ \mathrm{Ens}^{ \mathbb{1}^{ op } } = \mathrm{Ens} $ qui est une $ 1 $ - catégorie, mais est ce que $ \mathrm{Ens} $ classifie les théories de first order ? Non ! Je pense que, ce que j'ai affirmé est correct Maxtimax. ;-) -
C'est un peu n'importe quoi, là.
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@Maxtimax :
Je n'ai pas envie de répondre devant GBZM. Ce n'est pas la première fois que je discute avec lui, et lui il a toujours un ton très hautain, et prennent les autres pour des c**s. Ce n'est pas une bonne manière de discuter. On apprend rien comme ça.
De toute façon, je ne dis pas que tu n'as pas raison ( comme tu peux aussi avoir tort ). Je ne sais pas. Je suis en phase d'apprentissage. Je ne peux rien confirmer pour le moment. Je suis au milieu de la route. :-)
Cordialement. -
Pablo, si tu faisais des mathématiques sérieusement, je te prendrais au sérieux.
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Et qu'est ce que je fais là GBZM ?
Je fais sérieusement les mathématiques, mais avec un peu de flexibilité et de souplesse pour ne pas me casser les dents, mais vous ne supportez pas bien ça, car vous êtes trop rigide dans vos pensés ( comme une variété complexe ).
J'aime le coté heuristique en maths. J'apprends les maths heuristiquement, c'est ce qui permet à mes neurones de capter la philosophie derrière une notion. C'est agréable quant il y'a une transparence dans une idée. ça ne se produit que lorsqu'elle est capté heuristiquement et non théoriquement ( i.e : rigoureusement ). -
@Maxtimax :
Moi je vois $ \mathrm{Ens} $ comme un $ 0 $ - topos, qui classifie toujours les $ 0 $ - order theories, et interprete toujours le langage de $ 0 $ - order logic. Mais, $ \mathrm{Ens} $ ne classifie pas toujours les first order théories et plus, et donc n’interprétè pas toujours le langage de first order logic et plus.
Un $ 1 $ - topos classifie toujours les first order théories, et interprete toujours le langage de $ 1 $ - order logic. Mais, ne classifie pas toujours les $2$ - order théories, et donc n’interprétè pas toujours le langage de $2$ order logic et plus. ( Il faut chercher un exemple ).
Un $ n $ - topos classifie toujours les $n$ order théories, et interprete toujours le langage de $ n $ - order logic. Mais, ne classifie pas toujours les $n+1$ - order théories et plus, et donc n’interprétè pas toujours le langage de $n+1 $ order logic et plus.
... etc.
Voila. Je précise juste mon intuition. J'espère que c'est correct. A vérifier.
edit :
Est ce que la notion de $ 1 $ - topos, $ 2 $ - topos , ... , $ n $ - topos existe déjà dans la littérature mathématique, parce que c'est moi seul qui l'a introduit dans ce fil, parce que j'ai prédit son existence sans que je la trouve quelque part sur le net, en réponse à la problématique à laquelle nous nous sommes heurtés dans ce fil : la géométrie algébrique ainsi que la géométrie non commutative sont des théories d'ordre combien, $ 1 $ ou $ 2 $ ou $ 3 $, combien ? -
Tu donnes l’impression d’essayer de prouver quelque chose avec ce que tu fais (oui j’ai lu ce qui s’était passé avec la modération et toi sur l’autre topic dans vie du forum) et t’as franchement pas l’air de te faire du bien en faisant tout ça, y a un côté « immature » (je suis pas très bien placé sur ce genre de choses donc si tu veux me faire un « miroir/miroir » tu peux), tu devrais te demander (je dis ça parce que tu donnes l’impression de pas le faire) ce qui te pousse à faire ça. Je veux dire qu’est ce que tu en tires et si en fait tout ça c’est pas parce que: manque de confiance, problèmes avec l’ego (un peu pareil mais voilà). Ça fait un peu « enfantin » comme façon de faire (mais clairement je suis mal placé tu peux me le dire).
Fin voilà y a 9 chances sur 10 au moins pour que tu prennes ça pour une agression mais au pire c’est un post si ça t’emmerde j’insiste pas. Où tu veux en venir avec ce que tu fais en maths ?
Quand je tenais des discours qui me rappellent le genre de façon que t’as d’aborder le truc quand tu parles d’heuristique pour te défendre etc, j’étais complètement absolument paumé, j’ai pas envie de te blesser mais est-ce que t’es pas perdu et tu traines sur les mêmes disques depuis deux ans au moins (enfin apparemment cf les autres topics). Je ne sais pas à quel point t’as un peu réfléchi à tout ça, j’espere que ça te parle un peu quand même.
La modération peut m’en vouloir de balancer du pavé de psy surtout que mon apport en maths sur le forum est nul c’est pas comme si j’avais rempli mon quote-part de trucs sérieux pour m’autoriser ça mais ... bah mais rien, vous pouvez trouver ça déplacé... Pardon -
Je ne comprends pas pourquoi tout le monde est méchant avec moi.
@grothenbiet :
Tu me demandes pourquoi je suis entrain de me fatiguer les méninges avec tout ça. Je ne me fatigue pas. C'est avec un grand plaisir que je fais les mathématiques, c'est comme un jeu de mots croisés. Tu vas demandé à quelqu'un pourquoi tu joues au mots croisés ? Oui, peut être pour flatter mon égo. J'aime ça, mais pourquoi ça vous agace ? Moi, je vous dis que la quasi totalité des chercheurs doctorants en maths qui font des recherches et obtiennent des médailles Fields le font pour les deux : pour s'amuser comme pour les mots croisés et pour nourrir leur satisfaction ( i.e : flatter leur égo ). Où est le problème ?. Pourquoi tu ne vises que moi et tu ne pars pas casser un peu la tête à Cedric Villani en lui disant que tu fais des maths pour satisfaire ton égo ?
Avec tout mon respect. -
Je sais que c’est limite mais à la base je veux pas du tout être méchant avec toi, mais je sais que c’est limite ce que je t’ai envoyé je suis désolé, j’ai pas mal hésité à te l’envoyer. En fait je vais être clair, je crois comprendre que tu faisais un peu n’importe quoi en maths, ta façon d’aborder la matière, fin tout tenait de shtam, apparemment tu continues. Je dis apparemment. Y a un côté entêtement dans une mauvaise façon de faire les maths polluée par de la souffrance personnelle, tu donnes cette impression. Je pense que tout ça cache de façon évidente un mal-être, j’ai l’impression que c’est décelable un peu partout jusque dans ta façon de t’exprimer, du coup au lieu de tourner autour du pot en discutant des jours de questions de maths où tu seras à côté de la plaque (loool mais j’ai tellement aucune crédibilité pour sortir ça j’ai honte de rien ahahah) je tente parce qu’il est 3h du matin un truc voilà, juste te demander si ça va, si t’as déjà réfléchi à tout ça etc etc. Mais oui niveau éthique c’est peut être pas bien et que ça montre une forme de manque de respect, je ne sais pas trop quoi en penser, encore pardon si tu le prends mal.
Pour l’égo bien sûr que ça joue chez beaucoup de gens, je dis pas le contraire.
Je vais essayer de dormir, bonne nuit et pardon si tout ça te blesse, vraiment pardon. -
Pablo a écrit:edit :
Est ce que la notion de $ 1 $ - topos, $ 2 $ - topos , ... , $ n $ - topos existe déjà dans la littérature mathématique ?
Effectivement, la notion de $n$-topos existe déjà en mathématiques. Voir ici : https://ncatlab.org/nlab/show/n-topos . -
@Pablo : donc tu me dis qu'un $n$-topos correspond à quelque chose, mais tu ne savais pas ce qu'était un $n$-topos : forcément mes réponses ont dû te paraître insensées; mais d'un autre côté ça prouve que ce n'est pas sérieux.
Au risque de me répéter : un topos ($1$-topos) comme on les aime a un langage interne capable d'interpréter la logique de tout ordre; tu peux parfaitement interpréter la logique du deuxième, troisième ordre dans $\mathbf{Set}$; ça n'a rien à voir avec les catégories supérieures.
D'un autre côté tu as des $n$-catégories, en particulier des $\infty$-catégories (qu'on comprend un peu mieux que les $n$-catégories, pour $4\leq n < \infty$), dont on espère que, d'une manière ou d'une autre, le langage interne permette d'interpréter la théorie homotopique des types. Donc rien à voir avec le shmil-blick.
En plus tu reviens sur géométrie algébrique/non commutative en demandant de quel ordre sont ces théories alors que je t'ai déjà dit que ce n'étaient pas des théories au sens formel du terme, en particulier ce ne sont pas des théories d'ordre $n$ pour un entier $n$. -
Je suis allé voir sur le site d'Olivia Caramello par curiosité, voici quelques exemples de ponts donnés par les topos : https://www.oliviacaramello.com/Unification/ConcreteExamples.html
Et j'avoue que je n'ai rien compris
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Bonjour,
Je te remercie Lupulus pour ton lien, parce qu'il m'a conduit à trouver ce que je cherchais : Voir si on peut construire un pont entre la géométrie algébrique et la géométrie non commutative.
... Pour ça, j'invite Maxtimax à jeter un œil sur le lien suivant : https://www.oliviacaramello.com/Unification/Concrete examples/MaximalIdeals.html ( qui est issue du meme lien mis par Lupulus ), afin qu'il me donne son avis sur cet article portant sur son affirmation que la géométrie algébrique ainsi que la géométrie non commutative ne sont pas un type de $n$-order theory pour $n$ un entier donné.
Le lien, comme je l'ai souligné plus haut, fournit une méthode qui permet de passer de la géométrie algébrique vers la géométrie non commutative, et inversement via l'exemple des spectres d'anneaux ( i.e : Nullstellesatz theorem $ \ \ \longleftrightarrow \ \ $ Gelfand-Naimark theorem ) en utilisant les $ 1 $ -topoi. Cela justifie pourquoi la géométrie algébrique ainsi que la géométrie non commutative sont deux théories qui ont une restriction à la logique de first order, et donc, il existe un $n$ tel que, ces deux théories cités sont des $n$-order theories. C'est normal. Lorsqu'on écrit sur un papier l'énoncé du Nullstellensatz, par quel langage il est rédigé ? ... Par le langage de first order logic. Je ne comprends pas ce qui gène Maxtimax pour ne pas considérer ces deux théories comme deux $n$-order théories pour un $n$ donné.
Je ne saisis pas néanmoins, jusqu'à maintenant pourquoi Olivia Caramello choisit le meme type d'exemple que celui ce dont j'ai pensé !?! C'est à dire : l'analogie : ( Nullstellesatz theorem $ \ \ \longleftrightarrow \ \ $ Gelfand-Naimark theorem ). On dirait qu'elle lit dans mes pensés. :-) Je vous jure, je ne suis jamais tombé sur le lien proposé par Lupulus pour ne pas affirmer que je recopie ce qui se dit dans certains liens internet.. :-) Mais, c'est comme ça que ça s'est passé. C'est une coïncidence. :-)
edit :
Je vais souvent sur le site de Olivia Caramello, mais, je ne sais pas comment fait Lupulus pour pénétrer à ces articles sur son lien. -
Bon écoute si tu n'es pas prêt à arrêter de raconter n'importe quoi trente secondes et dire précisément ce que tu veux dire, ça ne sert à rien de continuer.
Ce n'est pas parce que le nullstellensatz peut s'écrire au premier ordre dans un certain langage que soudainement "la géomtrie algébrique" est une théorie du premier ordre (ou $n$-ième ordre)
"Cela justifie pourquoi la géométrie algébrique ainsi que la géométrie non commutative sont deux théories qui ont une restriction à la logique de first order, et donc, il existe un n tel que, ces deux théories cités sont des n-order theories" : n'importe quoi. D'autant que même en admettant que ça ait un sens (ça n'en a pas !) ça n'a aucun lien avec les $n$-catégories.
Note de plus que le lien que tu as joint ne mentionne ni le nullstellensatz, ni le théorème de Gelfand-Naimark....
Bref je m'étais prêté au jeu en pensant que tu essayais vraiment de comprendre quelque chose; mais je vois que ce n'est pas le cas. Si tu ne reviens pas avec des énoncés précis ou des questions précises, et si tu continues à affirmer des choses sur des objets dont tu n'as aucune idée de la définition, je m'arrête ici. -
@ Pablo
Est ce que tu peux me fournir une bibliographie et Merci -
AitJoseph : ( Bonsoir )
Tu commences par ces deux cours : ( Moi, je ne suis qu'un autodidacte, je n'apprends que sur le net, pour que ce soit claire ).
http://www.fuw.edu.pl/~kostecki/ittt.pdf
http://www.logique.jussieu.fr/~alp/cours_2010.pdf
Ensuite, au fur et à mesure, tu commences à trier des articles minutieusement bien choisi sur le net, à fin d'élargir ta culture dans ce domaine, ( Ne choisis pas au hasard un sujet relativement très spécialisé, moi j'ai un esprit généraliste ( comme Grothendieck :-D , Oh c'est st*p*d* de se comparer à Grothendieck :-D ), je choisis rarement de lire sur des sujets très spécialisé. Si tu es généraliste, tu peux comprendre les ramifications, mais si tu es spécialisé, tu auras du mal à saisir des idées transparentes sur un sujet et son essence. Si tu saisis son essence, c'est fini. Je te garantie, pas besoin de continuer à lire le cours. Je raconte ça de part mon propre expérience que je partage maintenant avec toi ) moi, mon but est d'apprendre davantage sur la théorie de l'unification mathématique. ( Je suis encore débutant, je ne connais pas tout mais après tout c'est le plaisir d'apprendre des choses intelligentes et philosophiques ). Ne te concentre pas sur les détails, ça vient toute seule, il faut comprendre les idées, chaque propriété en mathématique a une raison d’être, c'est pourquoi parfois, je zappe meme les démonstrations, et je me focalise sur les idées derrière une propriété.
Cordialement.
NB : Attend, je répondrai à ton sujet Maxtimax. -
D'accord, tu ne fais pas de mathématiques, donc.je zappe meme les démonstrations
Au fait,Pablo, peux-tu nous expliquer quel est le topos classifiant la théorie du singleton ? Je précise, c'est la théorie avec une seule sorte de variables, aucun symbole relationnel autre que l'égalité et aucun symbole fonctionnel, et juste les deux axiomes :
$$ \vdash x=y \qquad \vdash \exists x\ x=x\;.$$
C'est bien une théorie géométrique, n'est-ce pas ? Quel est son topos classifiant ? -
Pourquoi tu demandes à moi GBZM ? Je ne connais pas la réponse.
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Ah bon ? Tu ne comprends donc rien à ce que tu racontes ? C'est juste du vent ?
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Maxtimax :
Lorsque tu ouvres le lien : https://www.oliviacaramello.com/Unification/Concrete examples/MaximalIdeals.html , et tu trouves devant toi la formule :
$$ \mathrm{Sh} ( \mathrm{Spec} (A) ) \sim \mathrm{Sh} ( \mathrm{Rad} (A) , J ) $$
dès la troisième ligne, ça ne te dit rien ? Ce n'est pas le Nullstellensatz ?
Lorsque, tu entends dire la phrase suivante :
Notice that this theorem notably applies to any $ C^* $-algebra $ A $ (since its Gelfand spectrum is sober being Hausdorff), giving an alternative characterization of its maximal ideals ... etc. combiné avec la formule suivante :
$$ \mathrm{Sh} ( \mathrm{Max} (A) ) \simeq \mathrm{Sh} ( L(A) , J^{ \mathrm{max}} ) $$
Ce n'est pas le Gelfand-Naimark theorem ? -
GBZM a écrit:Ah bon ? Tu ne comprends donc rien à ce que tu racontes ? C'est juste du vent ?
Je n'ai appris que la théorie pour le moment que je maîtrise bien. Je n'ai pas encore fait d'exercices, parce que il n'y'a pas un lieu sur le net où on trouve des exercices corrigés. Ne précipite pas les choses, il ne faut pas bruler les étapes. Ne te fait pas trop plaisir parce que il ne me reste pas beaucoup pour me mesurer un peu à toi. A ce moment là, c'est fini ta joie. ;-) -
Pablo : non ce n'est pas ça le nullstellensatz, enfin pas que je sache. Cette formule donne l'équivalence de topoi, donc au mieux une équivalence de sites (et encore, il faut de grosses hypothèses sur les sites) entre celui associé à $Spec(A)$ et $Rad(A)$. Au mieux, ça nous dit qu'un ouvert $\{p, I\not\subset p\}$ correspond à un idéal radical; mais ça on le savait déjà, et sans nullstellensatz : $I\not\subset p \iff \sqrt{I}\not\subset p$ lorsque $p$ est premier. Donc non.
Ensuite, similairement, je ne vois pas de rapport avec Gelfand-Naimark; ce n'est pas parce que les mots "$C^*$-algèbre" et "Gelfand" sont cités qu'il s'agit forcément du théorème de Gelfand-Naimark
Ensuite, si tu n'es pas capable de faire le petit exercice que GBZM te propose, c'est que tu ne maîtrises pas la théorie ; ou alors que "maîtriser" a un sens différent pour toi.
"il ne me reste pas beaucoup pour me mesurer un peu à toi" : je crois que tu ne te rends pas compte de ce que tu dis. "A ce moment là c'est fini ta joie" : tu as une idée bien basse de ce qui peut faire plaisir à GBZM : je suis sûr qu'il serait bien plus heureux de voir que ce que tu racontes n'est pas que du vent, et de te voir véritablement progresser plutôt que le plaisir mesquin que tu lui imagines (même si je ne le connais pas - il me corrigera si besoin).
Comme je l'avais dit, tu n'es pas sérieux ; donc j'arrête -
Maxtimax a écrit:Comme je l'avais dit, tu n'es pas sérieux; donc j'arrête
Maxtimax :
Pourquoi tu vas arrêter ? On apprend tous ensemble là, non ?
C'est parce que je n'arrive pas à résoudre un exo que je ne suis pas sérieux ?, non mais d'où tu sors cette logique, toi qui est logicien ?
Si je n'arrive pas à faire un exercice, c'est parce que c'est là où s’arrête mon niveau d'apprentissage. Tu veux que j'atteins le ciel ? J'ai appris la théorie, il me reste la pratique. Je n'arrive pas à mettre des liens entre le monde théorique et le monde pratique, parce que comme j'ai dit, je n'ai pas fait d'exercices, parce qu'ils ne sont pas disponible sur le net suivi de leurs corrigés. Où est le problème dans tout ça ? -
@ Pablo Merci beaucoup
Est ce que quelqu'un peut m'indiquer un livre en Francais et Merci -
@GBZM :
Tu m'indiques les étapes à suivre dans ton exo un par un sans raccourcir un seul parcours, si tu as vraiment envie que je maîtrise bien les topos, comme me le reproche Maxtimax. -
Pablo : je vais faire un résumé de ton attitude depuis ton retour :
1) Tu as recopié des extraits de beaucoup de sites/PDF mais tu n'a as compris ce que tu as écrit comme on l'a vu à de multiples reprises.
2) Tu exiges que les autres te donnent la solution d'un problème que tu devrais pouvoir résoudre si tu connaissais les topos comme tu l'as prétendu quelques messages plus haut.
3) Tu deviens agressif avec les interlocuteurs qui soulignent les problèmes de ta méthode de "travail".
Je suis désolé de te dire ça mais tu n'as fait aucun progrès depuis 7 ans, date à laquelle j'ai commencé à lire ce forum. Je pense qu'il est temps pour toi d'arrêter définitivement les mathématiques une bonne fois pour toute. -
Lupulus a écrit:Tu as recopié des extraits de beaucoup de sites/PDF mais tu n'a as compris ce que tu as écrit comme on l'a vu à de multiples reprises.
Où tu as vu ça Lupulus ?. Je m'aides toujours des cours du net, où est le problème ? mais je n'ai jamais triché, et tout ce que je dis est crédible. La chose qui m'a poussé à édicter que cette coïncidence qui s'est produite sur ce fil sur mes affirmations qui se sont avérées identiques à celles d'Olivia Caramello sur ton lien se trouve ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,1739552 , ( C'est la réaction de Poirot qui m'a fait dressé les cheveux). et je parie si tu trouves une seule écriture frauduleuse depuis mon retour ici. Lorsque je me sers d'un pdf, je l'insère publiquement en lien sans vergogne, mais pour m'accuser de fraude et de tricherie gratuitement, ce n'est pas sympas de ta part Lupulus.
edit :
Je n'ai pas vu que le sujet de @df était un extrait d'une autre source, et que son pavé ne lui appartient pas -
Si c'était vrai, tu devrais pouvoir dire sans difficulté ce qu'est un modèle de la théorie du singleton dans un topos. Partant de là il est assez évident de voir quel est le topos classifiant la théorie du singleton et le modèle générique de cette théorie.Pablo a écrit:j'ai appris toute la théorie des topoi sans aucune difficulté -
Je n'ai pas compris le rapport entre ma réponse à propos d'un article copier-collé dans la revue "Pour la science" et ce qu'il se passe ici. Mais puisque tu souhaites que je fasse partie de cette conversation, je vais simplement ajouter que je suis d'accord avec l'analyse de Lupulus et Maxtimax.
-
Pablo a écrit:Non Math Coss, j'ai appris toute la théorie des topoi sans aucune difficulté, malgré mes questions bêtes que j'ai posé sur le fil
d'algèbre linéaire que tu mentionnes. Ne t'inquiète pas, je sais ce que je fais.
@GBZM :
Oui, c'est un travers, mais ce n'était pas fait exprès, parce que Math Coss m'infligeait des critiques acerbes depuis que j'ai atterrit sur ce forum ( et les autres aussi ), alors, devant la pression, il n'y'a pas moyen d'y échapper que de recourir à ça pour me défendre.
Attend, je vais voir si je peux résoudre ton exo en suivant tes consignes.
Cordialement. -
@GBZM :
J'ai un peu la flemme GBZM de me remettre au travail après beaucoup d'investissement que j'ai consacré aux topoi. J'ai envie de changer de sujet. En fait, ton exo relève plus de logique que de topoi. et il me faut du temps pour me familiariser et devenir flexible face au langage de la logique. Si la flemme disparaît ce soir, je me remettrai à travailler les topoi avec mes cours et comparer les notions avec ton exercice. :-)
Cela n’empêche pas que tu me rédiges la réponse ici si tu n'as aucun problème. :-D
Est ce que tu peux m'indiquer un recueil d'exercices pratiques ( non théoriques, ... comme celui de ton exo très sympas et élémentaire ... ), suivi des corrigés, disponible sur le net ?
Merci. -
Pour que tu comprennes pourquoi ton exo est difficile à résoudre pour moi, parce que la théorie que j'ai apprise sur les topoi est celle orientée à définir des sites de cohomologie comme la cohomologie de Zariski, "etale cohomology, syntomic cohomology, Nesnevitch cohomology, fppf cohomology" ... tu peux voir ça sur le projects stacks que j'ai appris quelques parties, le projet compte plus de 6000 pages, disponible et ouvert pour tout le monde sur le net, c'est une théorie de topoi dédiée à la construction de cohomologies, et non orientés vers la logique, toi je parie que tu utilises les topoi à des fins en lien avec informatique, dis la vérité, moi j'ai appris les topoi pour les appliquer à la conjecture de Hodge, c'est pourquoi ton exo n'est pas compatible avec mes connaissances, malgré que j'ai appris les deux cours que j'ai indiqués à Ait Joseph (voir plus haut). Mais, tu ne peux pas comprendre ça, c'est pourquoi tu dis que c'est contre-productif.
-
Pablo, faire des mathématiques ne consiste pas à agiter des grands mots auxquels on ne comprend pas grand chose et être incapable de répondre au moindre petit problème.
Je te signale que c'est toi, dans ce fil, qui parle des rapports entre logique et topos.
Je vois que tu n'as absolument pas changé. Je m'abstiendrai d'intervenir dans tes fils.
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