Relativité=>Pythagore

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
J'ai hélas trop peu de disponibilités actuellement pour poster un joli article esthétique sur HAL.

Aussi je vous propose qu'on fasse un fichier pdf à quelques uns (je peux taper ou regrouper la version finale en latex et la compiler en pdf, je souhaiterais qu'elle ne fasse pas plus de 5 pages.

Comme chacun sait, on ne peut pas "extraire déductivement" la notion d'angle droit et de distance de la géométrie affine. Si on veut de l'euclidien, il faut l'y mettre. Et pourtant il y a quelques signes que la situation n'est pas si simple:

1/ La Nature offre des angles droits (pliage en 4 d'une feuille de papier)

2/ Un problème affine qui a résisté des décennies à tous les cracks mondiaux et qui se prouve en dix lignes triviales existe à la condition de lire euclidiennement le problème

3/ Et peut-être d'autres trucs.

J'en propose un troisième, qui, ce n'est que mon avis a sa valeur: si vous analysez ligne par ligne le document que je mets en lien, on y prouve la relativité restreinte de manière (c'est une manière de parler) purement affine.

Or, la RR implique le théorème de Pythagore de manière triviale.

Je souhaite donc toiletter ce document dans l'optique de rendre le plus droit possible le passage :

[size=x-large]
philosophie
> Pythagore
[/size]

(en signalant au passage que les raisonnements aboutissant aux transformations de Lorentz se basent sur des axiomes "philosophiques" bien plus en amont que le constat par nos sens des angles droits de la nature)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Christophe : Comment est-ce que la RR implique Pythagore de manière triviale ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Pour faire de la relativité même restreinte, on se place en coordonnées et on choisit une forme bilinéaire de signature $(3,1)$, non ?
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Math Coss : Oui. Mais où veux-tu en venir ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Eh bien, dès qu'on a une forme bilinéaire symétrique définie positive (la restriction à un sous-espace de type espace), on a le théorème de Pythagore comme une trivialité. Je pense que c'est hypocrite de déduire le théorème de Pythagore d'une situation où c'est en quelque sorte un axiome, qu'on l'explicite ou pas. Ou bien on parle d'un autre théorème de Pythagore.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Math Coss : Oui, moi j'aimerais bien savoir de quel Pythagore on parle...

    En fait, est-ce que la question est de savoir pourquoi deux droites de type espace sont vues comme perpendiculaires dans chaque sous-espace de dimension 3 et de type espace ?
  • christophe c
    christophe c
    Evidemment que puisque la RR implique Pythagore, il est présent dedans. Mais @math coss, attention, là tu ne parles que de l'arrivée, alors que ce qui m'importe, c'est le départ à savoir comment on DEDUIT la RR de principes plus en amont et dont j'ai mis les détails dans le lien, qui est un pdf sérieux dû à un doctorant qui a détaillé la chose (mais elle l'est aussi dans un livre à ma cave je crois).

    Il est important de remarquer que l'auteur n'utilise qu'une seule dimension d'espace.

    Sans parler de signature, Pythagore se déduit de la RR en mesurant la longueur d'un chemin lumineux oblique UNE FOIS QU'ON A LES FORMULES DE CHANGEMENT DE REPERE (et si tu essaies, tu vas voir que c'est bluffant mais ça ne l'est qu'à cause du pdf qui établit ces formules, qui EN APPARENCE ne semble pas se référer à un quelconque don de la Nature). Il est à noter que LA RECIPROQUE EST VALABLE AUSSI, et que c'est même ce dont je me sers constamment quand je fais des "calculs" car je ne m'amuse pas à apprendre par coeur les formules de la RR.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Ecoute, comme d'habitude, je veux bien le faire, mais je ne comprends pas ce que tu demandes. Tes souhaits sont parfois très flous, pour moi.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonjour Christophe

    Est-ce qu'on peut déduire la loi (ou théorème) de [large]P[/large]ythagore à partir du lagrangien qui définit la relativité restreinte (ou toute autre théorie) par l'application du principe de moindre action ? Si oui, alors ce que tu affirmes est correct. (À mon avis ... Mais c'est ça l'idée j'imagine ... Non ? )

    Cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    @Georges, j'attends le WE pour taffer un peu un truc soigné que je te proposerai.

    @tous, je raconte comment RR=>Pythagore.

    Soit deux repères $R,S$. (à 3 dimensions, dont une de temps) avec la même origine, le même axe des abscisses, celui de S se mouve le long de celui de R.

    Un photon (abstrait, ie un point qui se déplace à la vitesse finie constante $K$ et limite de causalité) par A(0,0) à l'instant $0$ et arrive en $B(b,c)$ à l'instant $t$, coordonnées vues ainsi dans $R$.

    Dans le repère $S$, il part bien de $A(0,0)$ à l'instant $0$, mais arrive en $B(0,h)$ à l'instant $u$. On sait donc que $h=Ku$ et que la longueur $L$ du segment qui va de $(0,0)$ à $(b,c)$ vaut $Kt$, etc, etc, bref, on dispose d'assez de données pour obtenir $b^2+h^2 =L^2$ à l'aide des seules formules $RR$, établies dans le pdf, SANS la deuxième dimension spatiale.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Pardon, je pourrais modifier, mais c'est mieux s'il y a verbalisation: il y a l'hypothèse $c=h$ bien entendu (je ne remplace pas $h$ par $c$ dans le post précédent pour qu'elle soit attaquée (ie elle contraint comment on mesure "la deuxième dimension spatiale")
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Quel est l'analogue du théorème de Pythagore en géométrie hyperbolique ou sphérique ? Comment le calcule-t-on ?
  • christophe c
    christophe c
    "analogue du théorème de Pythagore" lool. Même dans une phrase courte, tu (Pablo) arrives à mettre un mot vague

    @Georges: souhaites-tu plus de précisions?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Salut,
    Pendant ma licence j'ai lu un bouquin (celui-là je crois: Relativite Restreinte - Bases Et Applications / Semay et Sylvestre-Brac), dans lequel il y avait un chapitre sur la construction de la relativité restreinte sur des bases assez axiomatiques. En substance ça disait ça:

    - 1) On se place dans un espace affine de dimension 4, repéré par quatre variables réelles (3 d'espace une de temps).
    - 2) Il existe un groupe de transformations des coordonnées qu'on appelle "transformations de Lorentz".
    - 3) Le groupe des transformations de Lorentz est stable par translations dans l'espace ou dans le temps.
    - 4) Le groupe des transformations de Lorentz est stable par rotations spatiale.
    - Puis d'autres trucs, dont je ne suis plus très sûr.

    Le principe après c'était de montrer que les transformations devaient avoir une certaine forme (translation + application linéaire), il restait un paramètre réel qu'on ne savait pas trop ce que c'était (je crois que c'était 1/c^2) sauf qu'un postulat interdisait que ce soit négatif (mais je ne pourrais pas le citer), du coup soit tu prenais 0 et tu retombais sur la mécanique classique, soit tu prenais un nombre positif et tu tombais sur la relativité restreinte.
    Bon une fois que tu avais les transformations, du coup tu vérifiais l'invariance du tenseur de Minkowski (donc Pythagore et tout le tralala...).
    À l'époque (j'étais jeune et avait une définition de la compréhension plus basée sur la gymnastique que sur la rigueur), j'étais très content de savoir ça et pensais avoir tout compris à la relativité restreinte (parce que ça me faisait suer d'avoir la vitesse de la lumière constante dans tout les référentielles sans plus d'explication). Mais avec du recul, je me dis que quand tu parles d'invariance par translation et par rotation (espace homogène et isotrope dans le document que tu as mis en lien), tu fais déjà du bon gros postulat ! Et je ne sais pas trop comment vous interprétez ces postulats mais dans ma tête ça dit "cet espace est vaguement Euclidien", d'ailleurs, j'aimerais beaucoup savoir comment vous définissez la notion d'angle et surtout celle d'isotropie. Parce que ça m'a l'air de base lié à la métrique d'ordre 2.

    Je veux donc poser la question suivante.
    Tu es sûr que tu veux écrire un article disant que la relativité restreinte implique le théorème de Pythagore ? Parce que moi j'ai plutôt l'impression qu'il était déjà contenu dans un sous-ensemble des postulats de la relativité restreinte.

    Quant à dire que les postulats de la relativité restreinte sont philosophiques ... Euh ... Je dirais plutôt qu'on peut les formuler avec un vocabulaire qu'on trouve intuitif (mais si je connais deux trois trucs en physique et en math, en philo, je suis la pire bouse qu'on puisse rencontrer).
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem , on présente l'analogue du théorème de Pythagore en géométrie sphérique et en géométrie hyperbolique. :-)
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