Valeur commune et AC

JL
JL
dans Fondements et Logique
Bonjour,

J'ai entrepris l'étude du Bourbaki "théorie des ensembles" et dans le chapitre "Systèmes projectifs d'ensembles", on trouve au moins à deux reprises le raisonnement suivant :
On a une famille d'ensembles $E_\alpha$ avec $\alpha\in I$ : $I$ est l'ensemble d'indices de la famille, possiblement infini.
Pour $x\in E_\alpha$, on a un élément $y_{x,\alpha}$ dans un ensemble $F$.
Dans les raisonnements en question, on remarque que $y_{x,\alpha}$ ne dépend pas de $x$ : $y_{x',\alpha} = y_{x,\alpha}$ et on pose $y_\alpha$ la valeur commune, ce qui permet de définir $y\in F^I$ comme $y=(y_\alpha)$.

Ma question est la suivante : quand bien même il s'agit d'une valeur commune, il "faut" poser $y_\alpha = y_{x_0,\alpha}$ où $x_0$ est un élément de $E_\alpha$, et donc on aurait besoin de AC. C'est correct ?

A+, JL

Réponses

  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Oui, très bien. C'est ça. :-)
    Je parie que tu as un talent caché en philosophie. Tu es très pertinent dans tes pensés. Félicitations. :-)
    On dit que $ y_{ \alpha } $ est une valeur intrinsèque par opposition à extrinsèque.
    Jette un œil ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Propriétés_intrinsèques_et_extrinsèques
  • christophe c
    christophe c
    Non, non, on n'a pas besoin de AC pour définir $\{x\}\mapsto x$ ;-)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Oui, tu as raison Christophe.
    JL a écrit:
    Pour $x\in E_\alpha$, on a un élément $y_{x,\alpha}$ dans un ensemble $F$

    Pour $ x \in \{ x \} $, on a un élément $x$ dans un ensemble $ \{x\} $
    Donc, on n'a pas besoin d'axiome de choix pour ce cas extrême.
    C'est ça Christophe ?.
  • grothenbiete
    grothenbiete
    Bah c’est juste que par compréhension tu peux bien définir l’ensemble des couples (x,y) bien comme il faut (x est un singleton et y appartenant à ton singleton) et il s’avere Que tu peux prouver que c’est une fonction (ton ensemble de couples)justement parce qu’il y a qu’un seul y dans {y} ... flemme de détailler mais tu vois l’idée
  • christophe c
    christophe c
    De toute façon e est la réunion des éléments de {e}
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.
    JL
    ...ce qui permet de définir $y\in F^{I}$ comme $y=(y_{\alpha})$.

    Ceci est mal écrit pour être compris !
  • babsgueye
    babsgueye
    On aurait besoin de AC pour faire quoi ? L'ensemble $F$ est $\{y_{\alpha},\;\alpha\in I\}$.
  • christophe c
    christophe c
    Précision vu que je passe sur un pc:
    JL a écrit:
    Ma question est la suivante : quand bien même il s'agit d'une valeur commune, il "faut" poser

    Déjà en maths, on ne pose rien du tout, "poser" est une activité purement humaine. En maths, il n'y a pas de définition, ce sont les mathématiciens, car humains, qui "à fins pratiques" usent de définitions (ie d'abréviations) pour accéder à des énoncés qui, sinon, contiendraient 10^50 caractères ASCII.

    L'ensemble (ou la collection) $\{(a,b)\mid \exists x: b=f(x,a)\}$ est (ou n'est pas) une fonction. Tes hypothèses disent que c'est une fonction, c'est tout, tu n'as rien à faire.

    L'axiome du choix dit qu'il existe une fonction inclus dedans et de même domaine, mais c'est autre chose.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Précision : $$Domaine(X):=\{x\mid \exists y: (x,y)\in X\}$$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • babsgueye
    babsgueye
    @cc c'est ton $y$ là, dans ta définition de $Domaine (X)$ ?
  • grothenbiete
    grothenbiete
    CC te dirait (et je suis d’accord): Où tu vois un y babsgueye ? (:D
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