Déterminant et inverse

Histoire de faire un peu de latex. Sauf erreur et si je me rappelle bien ce que m'a dit RM, l'inverse de la matrice $$

M := \begin {pmatrix} a& b\\c&d \end{pmatrix}
\quad \text{est la matrice}\quad

\begin {pmatrix} d& -b\\-c&a \end{pmatrix} ,

$$ quand le déterminant de $M$ vaut $1$.

Maintenant si on part d'une matrice $M$ quelconque 2×2 et d'un corps quelconque, ce qui est rigolo c'est qu'on ne peut pas forcément trouver une matrice multiple de $M$ qui soit de déterminant $1$ puisque $\det(aM) = a^2\det(M)$. Certes, on peut agrandir le corps. Mais l'inverse d'une matrice inversible ne nécessite pas d'agrandir le corps, comme chacun sait.

Or l'activité précédente, à vue de nez, conduit à dire, avec $r^2\det(M) = 1$ donc $\det(rM)=1$ que l'inverse de la matrice $$

M := \begin {pmatrix} ra& rb\\rc&rd \end{pmatrix}

\quad\text{est la matrice}\quad

\begin {pmatrix} rd& -rb\\-rc&ra \end{pmatrix} .

$$ Y a-t-il un développement de cette contine que je viens de raconter en dimension 2 en dimension quelconque, avec un beau pdf et ou de beaux résultats quelque part ?

Bon, je viens de bavarder de manière avachie, j'aurais tout bêtement pu demander s'il y a des simplifications connues pour inverser les matrices de déterminant 1 en général, mais je ne me serais pas remémoré comment écrire des matrices en latex, pardon :-D ?