Cardinaux finis, injections, ZFC et Peano

Titi le curieux · December 2018

Bonjour,
J'essaie actuellement de rendre mes connaissances de mathématiques un peu cohérentes et "inter-connectées", sans être vraiment spécialiste en logique (je n'ai même pas fait mes études en math à la base et je tente le coup en mode autodidacte). Mais j'ai pas mal de problèmes avec les cardinaux finis ...
Notamment j'ai tendance à beaucoup utiliser des propriétés du genre "il existe une injection de E dans F, il existe une injection de F dans E, je sais aussi que E est de cardinal fini donc non seulement E et F sont de même cardinal (pas besoin de cardinal fini pour ça), mais en plus toute injection de l'un dans l'autre est une surjection".

Je me suis dit que la propriété lié au fait que le cardinal est fini ne pouvait pas se démontrer dans Peano, du coup je tente de passer à ZFC, mais je suis confronté à plusieurs problèmes.

- Je n'arrive pas à montrer la coïncidence entre la relation d'ordre au sens de Peano (avec des additions), et celle des cardinaux ("au sens de Cantor", avec les injections). Bien sûr je peux faire de la projection canonique sur le suivant (+1) voir si on me le demande jusqu'au +5, mais je ne parviens pas pour autant à généraliser et pire que ça, je ne suis même pas foutu de montrer que l'injection du suivant sur le précédent n'existe pas.
- Même en admettant l'équivalence des deux relations d'ordre, le coup du "même cardinal fini donc l'injection est une bijection" me fait une crampe au boyau de la tête.

Quelqu'un a une référence de livre de logique qui serait abordable pour quelqu'un pour qui tout cela est assez neuf et discutant de ces notions. Pendant qu'on y est j'aimerais bien savoir comment on prouve que si il existe une injection d'un ensemble dans lui-même qui ne soit pas surjective, alors il existe une injection de N dans cet ensemble (et une fois que j'ai la réponse je ne remets plus jamais les cardinaux finis sur la table).

Maxtimax · December 2018

Toutes tes questions sur les cardinaux finis se règlent en remarquant la seule chose qui les différencient des cardinaux généraux : la récurrence . Pour la justifier, il faut parler d'ordinaux, je ne sais pas si tu les connais.

Pour ta dernière question, si $f$ est une telle fonction, et $x$ n'est pas dans son image, que penser de $u_0=x, u_{n+1}= f(u_n)$ ?

Titi le curieux · December 2018

Merci pour ta réponse Maxtimax,
J'appelle aussi ordinaux les trucs que j'utilise, mais je ne suis pas sûr que ce soit tout-à-fait la définition canonique, pour l'instant je fais du brouillon et je m'autorise souvent dans cette phase d'utiliser un vocabulaire pas tout-à-fait conventionnel (je ne suis pas capable d'apprendre sans une phase de "recherche", pendant laquelle je m'accorde certaines libertés, c'est très long, mais je crois que ça permet après coup de se faire une idée plus précise de ce que les concepteurs avaient en tête).
Donc pour le moment je définis un ensemble d'ordinaux par la "propriété du suivant", c'est à dire que je considère que l'ensemble E est un ensemble d'ordinal si il respecte la propriété $(x \in E)\rightarrow (x \cup \{ x\} \in E) $.
Avec cette définition, je nomme $\mathbb{N}$ un ensemble d'ordinaux vérifiant $\varnothing \in E $ et comme tu y fais référence une propriété de récurrence de la forme $ \forall A \subset E [((\varnothing \in E) \land (x\in E \rightarrow sx \in E))\rightarrow A=E]$.
Je suis tout-à-fait conscient de l'importance de cette hypothèse de récurrence, ai déjà tenté de l'utiliser dans ce cadre et ne serait de toute façon pas capable de démontrer des propriétés basique, comme l'unicité de $\mathbb{N}$ sans celle-ci (alors que là si j'ai $E_1$ et $E_2$ vérifiant toutes les hypothèses, je vérifie aisément que $E_1=E_2=E_1\cap E_2$).

Ta réponse à ma dernière question m'a échappé quelques minutes, mais après réflexion, elle me convient tout-à-fait je pense pouvoir l'utiliser correctement sitôt que j'aurai une relation d'ordre totale sur $\mathbb{N}$ impliquant alors une reformulation pratique de la récurrence (pour avoir une formule $\forall k \leq n (u_k\neq u_{n+1}$) qui ait un sens).
Je trouve ça très élégant, merci beaucoup!

Titi le curieux · January 2019

Salut
Un peu de publicité.
Pour ceux qui se poseraient aussi la question, j'ai depuis trouvé mes réponses dans un livre (ce n'est pas un livre de logique finalement). C'est le titre suivant: "Les objets fondamentaux en mathématiques / Les nombres" de Marcel Grangé (édition ellipses).
C'est dans le premier chapitre, dans une section nommée "les ensembles finis", ça n'utilise pas l'écriture des ordinaux avec "ensemble vide, ensemble vide et ensemble contenant l'ensemble vide ...", mais fait suite à une présentation de l'arithmétique de Peano.

Je ne sais pas si l'indication servira à quelqu'un, mais même si je trouve le livre parfois un peu agaçant sur les notations(*), j'en suis satisfait.

(*) Par exemple : l'auteur se refuse souvent à écrire une opération sous sa forme conventionnelle tant qu'on n'a pas encore montré que'elle respecte toute les propriétés attendues par le lecteur).

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