Propriétés communes
Soit $T_n$ la théorie de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ sur le langage $\{+,\times\}$.
Soit $T_\infty=\bigcap_{n\ge 2}T_n$.
À quoi ressemblent les modèles infinis de $T_\infty$? Par exemple, ce sont des anneaux commutatifs qui ont la propriété "si je suis intègre alors je suis un corps"...
Autre chose: $T_\infty$ est-elle décidable?
Une question vague: si on remplace $\bigcap_{n \ge 2} T_n$ par $\bigcap_{n \ge 1} T_{\varphi(n)}$ avec $\varphi$ une suite bien choisie (je pense par exemple à $\varphi(n)=$ le $n$-ème nombre premier, ou à $\varphi(n)=N^n$ avec $N$ fixé), se passe-il des trucs rigolos?
Soit $T_\infty=\bigcap_{n\ge 2}T_n$.
À quoi ressemblent les modèles infinis de $T_\infty$? Par exemple, ce sont des anneaux commutatifs qui ont la propriété "si je suis intègre alors je suis un corps"...
Autre chose: $T_\infty$ est-elle décidable?
Une question vague: si on remplace $\bigcap_{n \ge 2} T_n$ par $\bigcap_{n \ge 1} T_{\varphi(n)}$ avec $\varphi$ une suite bien choisie (je pense par exemple à $\varphi(n)=$ le $n$-ème nombre premier, ou à $\varphi(n)=N^n$ avec $N$ fixé), se passe-il des trucs rigolos?
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Réponses
Sinon, déjà on peut voir qu'un tel anneau est de caractéristique $0$ via la formule "$n\neq 0$ ou j'ai moins de $n$ éléments"
Je n'ai pas compris l'argument christobaldien.
Chose intéressante, dont mon message précédent est un cas particulier : les modèles infinis de $T_\infty$ sont en fait les modèles de la théorie "à partir d'un certain rang": si $\varphi$ est vraie dans $\Z/n\Z$ pour $n$ assez grand, tout modèle infini de $T_\infty$ vérifie $\varphi$; la preuve est essentiellement dans mon message précédent.
En fait puisqu'on parle des modèles infinis uniquement, la théorie qui nous intéresse c'est $T:= T_\infty +$ "je suis infini" ("je suis infini" est une théorie, pas une formule bien sûr; par exemple c'est la théorie consistant en, pour tout $n$, l'axiome "j'ai plus de $n$ éléments"). Dans ce cas, par complétude, il est clair que les conséquences de $T$ sont précisément les formules qui sont vraies dans $\Z/n\Z$ à partir d'un certain rang.
En reformulant un peu, on voit que c'est l'ensemble des formules qui sont vraies dans $(\displaystyle\prod_{n\in \N}\Z/n\Z) / \mathcal{U}$ pour tout ultrafiltre non principal $\mathcal{U}$ sur $\N$. J'ai espoir que tous ces produits réduits soient isomorphes, auquel cas ça réduirait à une unique structure; mais je ne suis pas sûr de cet espoir du tout .
Notre anneau vérifie le schéma suivant:
Pour toute propriété $\phi(x)$, si $\forall x \phi(x) \to \phi(x+1)$ alors [$\exists x \phi(x)$ est équivalente à $\forall x \phi(x)$].
Combiné à l'observation ci-dessus que notre anneau est de caractéristique $0$, ça lui fait une drôle de tronche...
Aussi, pour toute propriété $\phi(x)$, il existe $g$ tel que si $\phi(g)$ et $\forall x \phi(x) \to \phi(gx)$ alors $\forall x \phi(x)$...
Bien vu pour le schéma d'axiome. Par contre je ne suis pas convaincu pour le deuxième : $(\Z/n\Z)^\times$ n'est pas forcément cyclique
Quand je lis ce genre de fil, j'ai l'impression de naviguer dans l'hyper-espace sous LSD. En bref, j'entrave que pouic.
Une bonne âme pourrait-elle m'expliquer en termes simples et concrets la problématique et répondre aux questions suivantes, sachant que je ne connais rien à la théorie des langages
- déjà, j'ai du mal à comprendre ce qu'est la théorie de $\zz/n\zz$. Est-ce une liste minimal d'axiomes qui est vérifiée par $\zz/n\zz$ ? comment l'écrit-on concrètement ?
- on parle d'anneaux de caractéristique nulle, mais je ne vois pas le lien avec $T_\infty$ ou $T_n$. En fait, je crois que je ne comprends pas ce qu'on cherche et avec quels objets on travaille...
Quels sont les anneaux si ça a un sens qui vérifient $T_n$ (à part $ \zz/n\zz$), ou $T_\infty$ ?. D'ailleurs, existe-t-il est anneaux vérifiant $T_\infty$ ? par exemple, un corps de caractéristique nulle vérifie-t-il $T_\infty$ (j'imagine que la réponse doit être évidente si on comprend ce qu'est une théorie...)
Désolée si ces questions sont débiles....
Mel
Et donc si $A$ vérifie $T_\infty$, alors il vérifie $T_2$ et $T_3$ et donc $a=0$ pour tout $a\in A$ ? d'où $A=0$.
Je pense que je n'ai vraiment rien compris à ce qu'est une théorie ou ce qu'est $T_n$...
@mel : attention, $2a=0$ n'est pas dans $T_\infty$ puisqu'elle n'est pas dans $T_3$ par exemple
quels sont les anneaux qui verifient $T_n$ ? En général c'est une question de classification compliquée; ici c'est plus simple car $\Z/n\Z$ est fini; en particulier il y a une formule $\varphi_n$ qui le détermine à isomorphisme près, i.e. si $A\models \varphi_n$ (lire "$A$ satisfait $\varphi_n$") alors $A\simeq \Z/n\Z$. Donc il n'y a que $\Z/n\Z$ qui satisfasse $T_n$. Mais $T_\infty$ ne contient aucune des $\varphi_n$.
Donc ta question "quels anneaux satisfont $T_\infty$ ?" est plus compliquée. On connaît certains anneaux qui satisfont $T_\infty$, j'en ai donné plus haut des exemples en remarquant que, pour les infinis, ce sont les mêmes qui satisfont toutes les formules vraies à partir d'un certain rang. Toutes les ultrapuissances non triviales des $\Z/n\Z$ fonctionnent par exemple.
Notre question était justement de classifier les anneaux infinis qui satisfont $T_\infty$, ou en tout cas de donner de bons critères. On a vu qu'il n'y en avait pas qui soit intègre sans être un corps par exemple.
(Remarque : ceux qui sont finis sont peu intéressants, en effet si $A$ est fini, de caractéristique $n$, on voit par une astuce similaire à ce que j'ai fait avant qu'il a au plus $n$ éléments, et donc précisément $n$; et alors il est généré par $1$ car il a $n$ éléments et est de caractéristique $n$; et c'est donc $\Z/n\Z$; qui est bien un modèle de $T_\infty$.)
Tu regardes l'ensemble $T(z)$ des formules $f(z)$ du premier ordre avec $z$ une variable libre,
qu'ensuite tu instancies avec $z = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour voir si $f(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est vrai ?
(formules du premier ordre ça interdit de demander si $\exists n, z = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?)
Donc $h(z) : \exists k \in \mathbb{Z}, \forall a \in z, ka = 0$ est dans $T(z)$ ? Ou bien est-ce que je n'ai même pas le droit de multiplier par un entier (de faire $\underbrace{a+\ldots+a}_k$ sans avoir $k$ fixé ou au moins inférieur à un entier fixé)
Si j'ai le droit alors pour tout $n$, $h( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est vrai.
Soit $T( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \{ f(z) \in T(z) | f( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est vrai $\}$
Si j'ai un anneau $R$ tel que pour tout $k$ et pour tout $x_1,\ldots,x_k \in R^k$ il existe un $m$ tel que le sous-anneau $S(x_1,\ldots,x_k)$ (généré par les sommes et produits des $x_i$) est isomorphe à un sous-anneau de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$
Alors $T(R) \subset \ \ \bigcap_n T(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$
$R$ doit aussi être de caractéristique finie puisqu'il doit satisfaire $\exists m \in \mathbb{Z}, \forall a \in R, ma = 0$
Déjà, tu n'a pas le droit d'écrire les symboles $\in$ et $\Z$. Ensuite, une formule est une suite de caractères typographiques fixée, en particulier $a+...+a$ $k$ fois n'est une formule que pour $k$ fixé.
Je n'ai pas cherché à comprendre la suite, qui repose déjà sur des fondations douteuses.
Supposons par exemle qu'on ait une propriété $R$ vérifiée par le zéro de notre ultraproduit, et stable par $+1$. Comme représentant des classes de $0$ et $1$ je peux bien sûr prendre les suites $0_{\Z / n \Z}$ et $1_{\Z / n \Z}$. Alors les éléments pour lesquel $R$ est nécessairement vérifiée sont ceux qui sont $\mathcal U$-équivalents la suite $N \mod n$ pour un certain entier $N$... Mais ces classes n'épuisent bien évidemment pas toutes les classes de l'ultraproduit :-S
Sinon, on a une caractérisation des inversibles comme précisément ceux qui si une propriété est stable par eux alors elle englobe soit tout le monde soit personne.
1- tu ne peux pas quantifier sur les formules et
2- inversible dans $\Z/n\Z$ n'implique pas générateur du groupe multiplicatif.
(Moi j'écris l'implication à laquelle je pense comme un schéma de formules: pour toute forumule $P$, la formule suivante est dans $T_\infty$ : "$u$ inversible $\implies (((\exists x, P(x)) \land \forall y, (P(y)\implies P(y+u)))\implies \forall z, P(z))$" .
Si tu veux exprimer la réciproque comme un énoncé, pas comme une formule de $T_\infty$, par exemple, "Si pour toute formule $P$ on a blabla dans $R$, alors $u$ est inversible", alors je ne vois pas comment tu peux le prouver...
qui est un cas particulier de la réciproque du schéma dont on parle.
Ceci suggère l'idée d'étudier plutôt pour chaque premier $p$ les propriétés communes aux $\Z /p^k \Z$ (que je noterai dorénamaintenant $T_\infty(p)$), pour lesquels il y a évidemment beaucoup plus à dire, puis essayer de s'en ramener aux propriétés communes des $\Z / n \Z$ (que je noterai désormais $T_\infty(\infty)$.
En utilisant le théorème chinois, on a que $$\prod_n \Z / n\Z \cong \prod_n \prod_p \Z / p^{v_p(n)}\Z \cong \prod_p \left(\prod_k \Z / p^k \Z\right)^{\mathbb N}$$ en réarrangeant l'ordre des facteurs.
Il reste à comprendre comment va se traduire "pour $n$ suffisament grand" dans cet isomorphisme. Écrivons-le $(u_n) \mapsto (f_{p,k,m})$. Une réalisation possible est que $f_{p,k,m}$ donne l'image dans $\Z /p^k \Z$ de $u_n$, où $n$ est le $m$-ème entier dont la valuation $p$-adique vaut $k$.
Alors $n \to \infty$ est équivalent à $p+k+m \to \infty$.
J'imagine que ça revient à dire que l'on s'intéresse aux formules qui sont vraies dans le produit de droite quotienté par tout ultrafiltre non principal sur $\mathbb P \times \mathbb N \times \mathbb N$, où $\mathbb P$ est l'ensemble des nombres premiers. Est-ce que ça revient à toute ultrapuissance d'ultraproduits indexés par les premiers de modèles de $T_{\infty}(p)$?
Enfin je me trompe peut-être mais ça ne me paraît pas clair comme ça.
Par conséquent $\{n : u_n = 0\}$ correspond à $\{(v_p(n),m_p(n))_{p \in \mathbb P} : u_n = 0\}$.
Donc $\mathcal U$ correspond à $\prod_p v_p(\mathcal U) \times m_p(\mathcal U)$, où j'écris $f(\mathcal U)$ pour $\{ \{f(n) : n \in I\} : I \in \mathcal U\}$.
Sauf erreur $v_p(\mathcal U)$ n'est en général pas un ultrafiltre, en revanche comme pour $p$ fixé $n \mapsto (v_p(n),m_p(n))$ est une bijection, $v_p(\mathcal U) \times m_p(\mathcal U)$ est un ultrafiltre sur $\mathbb N^2$.
Donc, heu, quand on quotiente... :-S