Détente (degrés 3,4: équations)

Bonjour,

Pas tout à fait pour le degré $4.$ Pour annuler le discriminant et faire un carré parfait, on tombe sur un polynôme de degré trois en $u$...

Un peu de vocabulaire et de résultats basiques laissés en exo (sources: Bourbaki alg 4-7; Lang:Algebra ou bien le fantastique Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles de Yves Hellegouarch):
Tous les corps envisagés dans ce post sont commutatifs.
Soient $K,L$ deux corps tels que $L$ est une extension algébrique de $K$. Soit $M$ une cloture algébrique de $K$.

I) Il y a équivalence entre:
1°) Les images de $L$ par des morphismes de corps à valeur dans $M$ et prolongeant l'identité sont toutes les mêmes
2°) Pour tout $P$, si $P\in K[X]$ est un polynôme irréductible ayant au moins une racine dans $L$ alors il est scindé dans $L$
3°) Il existe un ensemble de polynômes $F\subseteq K[X]$ tels que tous les éléments de $F$ sont scindés sur $L$ et $L$ est le plus petit surcorps de $K$ (contenu dans $L$) contenant toutes les racines de tous les éléments de $F$.

Une extension de corps vérifiant ces propriétés est dite normale.

II) A)Si $x\in L$ on note $f_x\in K[X]$ le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $x$. On dit que $x$ est séparable (sur $K$) si $x$ est une racine simple de $f$.

Soit $x\in L$.
NB: $x$ est séparable si et seulement si $f'_x(x) \neq 0$ (garder ça dans le coin de sa tête, c'est ce qui fait fonctionner certains phénomènes relatifs à la séparabilité: pour le voir on écrit $f_x(T) = (T-x)^ng(T)$ avec $g(x)\neq 0$ et on calcule la dérivée).

Si $x$ n'est pas séparable alors la caractéristique de $K$ n'est pas nulle et $f'_x=0$
L'égalité $f'_x=0$ est conséquence de ce que $f_x$ est premier et que $f'_x$ et $f_x$ ne sont pas premiers entre eux; sinon par Bézout il existerait $a,b\in K[X]$ tels que $af_x+bf'_x=1$ et donc $a(x)f_x(x)+b(x)f'_x(x)=1$ ce qui est impossible vu que $f_x(x)=f'_x(x)=0$.

(i) Si tous les éléments de $L$ sont séparables on dit que $L$ est une extension séparable de $K$.

Vu ce qui précède en rouge, cette condition est automatiquement vérifiée en caractéristique nulle.


(ii) (raffinement de ce qui précède) Soit $F$ un corps. Les propriétés suivantes sont équivalentes:
1°) Toutes les extensions algébriques de $F$ sont séparables.
2°) $F$ est de caractéristique nulle, ou bien il existe $p$ premier tel que $F$ est de caractéristique $p$ et l'application $x\mapsto x^p$ de $F$ dans $F$ est surjective.
Un corps est dit parfait s'il vérifie ces propriétés.


C) $[L:K]$ ("degré de $L$ sur $K$")désigne la dimension de $L$ comme espace vectoriel sur $K$.
On suppose que $[L:K]$ est finie. Soit $S(L:K)$ l'ensemble des morphismes de corps de $L$ dans $M$ dont la restriction à $K$ est l'identité.

(i) $card(S(L:K)) \leq [L:K]$

(ii) Il y a équivalence entre
1°) $card(S(L:K)) =[L:K]$
2°) $L$ est engendrée par des éléments séparables.
3°) $L$ est séparable.

D) Si $[L:K]$ est fini et si $L$ est séparable, il existe $b\in L$ tel que $K[ b ]=L$ ("théorème de l'élément primitif": traiter les cas où $K$ est fini ou infini à part: remarquer que si $K$ est infini, $L$ n'est pas réunion d'une famille finie de sev stricts et appliquer C)ii)).

E) On suppose à nouveau que $[L:K]$ est finie. Soit $Aut(L)$ l'ensemble de tous les automorphismes de corps de $L$ (morphismes bijectifs de $L$ dans lui-même). Les énoncés suivants sont équivalents.
1°) Il existe une partie finie $G$ de $Aut(L)$ telle que $K$ est l'ensemble des points fixes communs à tous les éléments de $G$
2°) L est nomale et séparable.

NB: une extension normale et séparable est dite galoisienne (même lorsque $[L:K]$ est infini).
Le groupe de Galois de $L$ sur $K$ (noté $Gal(L:K)$)est par définition l'ensemble des automorphismes de $L$ coïncidant avec l'identité sur $K$; dans E) 1°) ci-dessus on peut montrer au passage que $G=Gal(L:K)$.
On a également $card(Gal(L:K))= [L:K]$.

christophe c a écrit:

Pour voir si j'ai compris tu as essentiellement documenté l'importance du point (2) d

C'est ce qu'on appelle une extension normale de corps .

Il y a un certain nombre de propriétés d'intérêt, on va les appeler $P$, telles que pour tout groupes $G,H$ et tout morphisme surjectif $f:G\to H$, $G$ vérifie $P$ si et seulement si $H$ et $ker(f)$ vérifient $P$.

Parmi de telles $P$ il y a:
-être fini (ok...)
-être résoluble
-posséder une suite de Jordan-Hölder (en prime la liste des quotients successifs de la suite de JH de $G$ s'obtient en concaténant les listes des quotients de $H$ et de $Ker(f)$, à permutation et isomorphisme près des termes).

D'où un énoncé comme "$G$ est fini et résoluble si et seulement si les quotients de sa suite de JH sont tous cycliques d'ordre premier", qui donne une intuition de ce qui se passe pour Galois.