Preuves physiques ignatus

christophe c · December 2018

Si le fil d'ignatus est déplacé en L et F je pourrai donner du train à moudre. En attendant de mon téléphone et d'une aire d'autoroute les preuves physiques d'énoncés A sont dans 99% de deux types:

1/ on prouve pour tout x (R(x)=> À) et la nature apporte la croyance en il existe x R(x).

2/ on infère une solution symétrique à une demande symétrique des solutions non symétriques étant faciles à trouver même sans physique.

Cela dit en physique toutes les fonctions (homotopes à une constante) ont des moi ts fixes donc on peut vite prouver ce qu'on veut.

Remarque la preuve de Pythagore la moins consommatrice d'axiomes que j'ai trouvée (en conduisant :-D ) consiste à remarquer que les cercles ont comme équation x^2+y^2=cste via le fait qu'en "dérivant" (x,y) |

> x^2+y^2 le long du cercle on obtient la cste nulle.

ignatus · December 2018

Bonsoir christophe c,

je suis content que le fil que j'ai ouvert dans la rubrique "physique" vous intéresse. Je ne l'ai pas encore soumis ici, car il est trop général. J'ai vu dernièrement deux angles d'attaque, autour de la notion de calcul, et de vérité. Mais j'estime que c'est encore trop général. Je vous joins néanmoins le lien utiliser la physique pour démontrer
Si vous pouvez préciser ces deux angles d'attaque, ou en ajouter d'autres qui vous semblent judicieux, n'hésitez pas.
ignatus.

christophe c · December 2018

Des que je peux poster d'un PC je répondrai de manière détaillée. (De mon téléphone)

christophe c · December 2018

Je n'ai pas lu tous les posts lentement, mais j'ai lu l'article de JPD, et parcouru l'autre fil.

Dans la plupart des cas, les gens qui interviennent, non spécialistes de la notion de raisonnement, et ayant souvent enseigné, confondent deux (voire 3) choses et se prononcent ou bien trop "généralement" ou bien "en des termes pragmatiques, en mélangeant volonté de transmettre et volonté de prouver. (Ce qui est peu compatible).

Du coup ça entretient des confusions qu'on peut même qualifier d'erreurs très nettes.

Nos progrès scientifiques ont été avant tout des avancées et des distinctions et non pas des évolutions subjectives. Il n'y a pas (sur le fond) de "règles" de preuves, pour la simple et bonne raison qu'il faudrait justifier ces règles elle-mêmes, etc.

Ce qu'on a découvert, c'est que la notion de langage et de formel est centrale. Beaucoup plus que la notion de règles de démonstrations (que l'on peut en fait considérer comme intégrables aux axiomes).

A tous ces titres, il est faux de dire qu'il y a des preuves en provenance de la physique. Il vaudrait mieux parler de preuves "inspirées par la physique", mais elles restent des preuves de maths (ou rien du tout, ie pas plus des preuves de physique que des preuves de maths) si elles ne sont pas formelles.

Je rappelle donc quelques infos qui me semblent ici hyper-importantes.

0/ Tout théorème de maths est un cas particulier formel d'évidence formel. Une version précise est : pour tout théorème $P$, il existe $E$ tel que aussi bien $E=>P$ que $E$ sont des conjonctions d'axiomes assumées. A proprement parler, les choses sont donc encore plus simples: il n'y a pas de raisonnements en science autrement que pour raisons pragmatiques de longueurs de textes à diffuser à des vrais humains. Théoriquement, une preuve est un couple $(E,P)$ tel que $E$ et E=>P sont "admis".

1/ Sciences et maths recherchent des certitudes (absolues pour les maths, pragmatiques pour les autres sciences).

2/ Il y a peu de sciences. Par exemple, en dehors des physiques et biologie, il n'y en a pas d'autres. La vogue ayant consisté à mettre "science" partout est désinformante: il n'y a ni sciences politiques, ni sciences de l'éducation, ni sciences humaines, etc. Ces domaines sont respectables mais n'ont strictement rien de science (et sont la plupart du temps instrumentalisés par des volontés politiques, ce qui de toute façon empêche leur production d'avoir le moindre crédit). Et attention, ils ne sont pas forcément corrompus par des incompétents en science, ils sont parfois et c'est pire, infiltrés par des scientifiques bien compétents, voire brillants avec des palmarès énooormes, qui sont rompus aux astuces sophistiques et peuvent produire des tratiés TOTALEMENT faux avec des airs d'être "très sérieusement travaillés" (oeuvre de propagande de Piketti, etc par exemple, qui ont mis leurs aptitudes au service de la fabrication de fausses argumentations pour faire gagner des causes).

Le point2 exige donc de toujours en revenir au FORMEL comme règle d'arbitrage.

3/ Il n'y a qu'une seule notion de preuve et elle n'a jamais varié depuis que l'être humain est capable de s'exprimer avec un langage. Cela consiste tout bêtement à mettre en gras ce qu'on suppose (voire en rouge, voire même à le répéter en début de texte pour montrer patte blanche, même si ça gaspille de l'encre). Selon les langages, ça peut prendre des formes variées de dispositions textuelles, mais c'est toujours entièrement explicite et formel.

4/ Ce que tu entends aborder dans ton autre fil est simplement, me semble-t-il, les preuves qui utilisent des axiomes SOUTENUS par le spectacle du monde physique. Et bien ... pourquoi pas?

4.2/ Mais ces preuves seront des preuves de maths "etpicétou". Il ne faut pas croire que le statut d'axiome a une autre nature que celui d'hypothèse et il ne faut pas croire que sous le prétexte que tel axiome viendrait de la physique il serait "un petit peu justifié". Il n'en est rien.

5/ Le défaut des exemples qui se trouvent dans le pdf de JPD ou des exemples donnés par les intervenants ne sont que leur caractère "informel" (ils sont formels à gros grain, mais si on en veut la substantitifique moelle et non pas juste formaliser en ajoutant des "donc" à des gros bouts de paragraphes pris comme variables propositionnelles primitives, il y a du taf de statut à donner à divers expressions, par exemple, le "on peut poser sur une table" de chaurien et JPD: mais ça ne pose pas de difficulté, c'est un exercice de grammaire pour "enfants" enfin censément)

6/ La plupart des maths des professionnels sont inspirées par la physique, il serait donc étrange d'avoir une approche à géométrie variable: par exemple, c'est "dans la douleur" en quelque sorte qu'après y avoir cru (et en traduction formelle ajouter des axiomes), la communauté "maths pures" a dû séparer l'affine de l'euclidien, alors que la Nature donne de l'euclidien gratuitement.

7/ Les interrogations qu'on peut avoir sur la physique comme inspiratrice ne sont pas "que philosophiques": elles sont aussi professionnelles et à gros rendement salarial chez les chercheurs:

7.1/ Les investigations affines VS euclidien
7.2/ Les premiers résultats d'indépendance (autrement dit de situations où justement on s'aperçoit qu'on "n'arrive pas à prouver" au point qu'on finit par construire des contre-modèle attestant "qu'on ne pourra jamais prouver")
7.3/ Pourquoi par exemple, il y a une telle ribambelle de preuves de Pythagore? Et bien, je parie (sans en avoir la moindre preuve) que c'est parce que les chercheurs de ces preuves voulaient créer un genre de pont déductif ou un genre de "meilleure théorie" qui serait venue gommer la frontière entre affine et euclidien.

Bon, je vais m'arrêter là, mais je ne crois pas que ça ait un sens (en tout cas un aboutissement scientifique possible ici dans un simple forum) de tenter de régler uniformément la question du statut de crédibilité des axiomes DE MATHS dans des preuves DE MATHS (et je dis ça car il n'y a de preuves QUE DE MATHS) qui sont issus de la physique.

En voiture quand j'ai lu ton fil, je me suis amusé à chercher une preuve "perso" de Pythagore qui serait "sans axiome sulfureux". La seule chose que j'ai trouvé est la suivante (je ne rédige pas, n'importe quel pro peut traduire en preuve formelle):

a/ La ligne droite est le plus court chemin et il est unique
b/ Le plus court chemin pour aller d'un point à une droite est d'y aller perpendiculairement.

On a ainsi une "apparition" des droites et des angles droits à partir d'une notion très primitive de distance. Je te rappelle que la notion d'aire est "affine-produite", il n'y a donc a priori pas d'espoir de faire émerger la notion de distance de la notion d'aire sans être un peu tordu.

c/ On obtient alors Pythagore comme suit: entre deux triangles rectangles superproches ayant la même longueur d’hypoténuse, la grandeur "somme des carrés des côtés perpendiculaires" reste constante: en effet, si $a,b$ sont infiniment petit et qu'on zappe leur carré, on obtient :

$$ (x+a)^2 + (y+b)^2 == x^2 + y^2 + 2ProduitScalaireTelQueVuEn1S <(x,y) | (a,b) > $$

et à cause de ( /b ) ci-dessus, on a $ProduitScalaireTelQueVuEn1S <(x,y) | (a,b) > = 0 $ (ie $xa+yb=0$)

étant signalé que $(u,v)$ est perpendiculaire à $(-v,u)$, ceci étant un axiome de "très bas niveau de contestabilité"

christophe c · December 2018

J'ai oublié quelques points:

P1/ le théorème de complétude rend sans espoir de prendre un autre chemin que celui que j'ai donné, à savoir qu'il n'y a pas de mystère autre que consistant à affaiblir la logique classique (mais en aucun cas de chercher vers "des axiomes qui seraient vrais en plus que ceux qu'on suppose déjà")

P2/ j'ai vu que tu enseignes en collège, je te donne donc une "information éventuellement utile" pour bien comlprendre ma contine précédente:

P2.1/ Le lycée n'apporte pas de nouveauté il ne fait que réviser le collège et même les petites classes du collège et de l'école primaire en ajoutant un devoir de parler avec des variables liées ou de s'exprimer autrement. Ainsi:

P2.1.1/ la proportion de .. parmi .. devient la proba de tirer .. sachant que ..

P2.1.2/ la proportionnalité entre deux lignes devient la "colinéarité de deux vecteurs" (et en plus on se limite à 2 ou 3 coordonnées, alors qu'en cinquième on va plus loin

P2.2/ Du coup, rappel:

P2.2.1/ $(a,b); (x,y)$ sont proportionnels ssi $ay = bx$

P2.2.2/ $(a,b); (x,y)$ sont orthogonaux ssi $(a,b)$ est parallèle à (colinéaire à; proportionnel à) $(-y,x)$, ce qui donne le "égal à zéro" de première S via

$$ProdSca: ((u,v),(x,y))\mapsto ux+vy$$

christophe c · December 2018

Je rappelle comment j'ai conjecturé sans savoir si c'est vrai ou faux (après documentation il s'est avéré que c'est presque vrai) que dans tout compact, toute homotope à une constante admet un point fixe. C'est très "physique".

Soit une fonction $u$ de domaine $\Z$ telle que chaque $u_n$ est une cabine dans laquelle dort la machine réalisatrice de $f$, doté d'un réveil tel que pour tout $n\in \Z: $ le réveil situé dans $u_n$ sonne le jour $n$ et réveille la machine. Cette machine déplace alors un pion se situé en $a$ pour le mettre en $p_{n+1}:=f(p_n)$ ($p_n$ est affiché sur son écran), puis poste sur l'écran de la cabine $u_{n+1}$ le point $p_{n+1}$ puis se recouche. Elle a 1H pour ce faire.

Si tout est déterministe et si la symétrie est respectée, cette expérience "se doit de donner" un résultat invariant (ie $n\mapsto p_n$ est constanteet sa valeur est un point fixe de $f$).

Par la suite, grâce à des amis et à des forumeurs (en particulier GBZM qui m'a signalé Lefschetz), j'ai appris que cette conjecture est vérifiée par une large collection d'espaces compacts de tous les jours. Il y a un contre-exemple célèbre (je n'ai pas le temps e mettre un lien ) discuté sur le forum, mais il a l'inconvénient que sa distance ne mesure pas les plus courts chemins. J'ai donc conjecturé que c'est vrai pour tous les métriques compacts honnêtes où j'appelle honnête le fait que la distance entre 2 points est l'inf des trajets qui mènent de $a$ à $b$.

ignatus · December 2018

Je te remercie pour l'effort que tu as fourni à taper tout ça.
Premières impressions :1) Je suis content que tu ne sépares pas radicalement les preuves par la physique et les preuves "purement mathématiques" en ramenant tout au statut des axiomes ;
2) Je ne sais pas si l'on peut complètement évacuer le problème des inférences logiques : on peut très bien, il me semble, formaliser une preuve par la physique, mais les inférences qui y apparaîtront peuvent-elles être qualifiées de logique ?
J'ai ramené ça, dans l'autre fil, à évaluer la notion d'évidences, ou d'intuitions, dans le cas d'une preuve "authentiquement" mathématique et une preuve issue de la physique. Je sais qu'il y a, en philosophie des maths, tout un champ qui s'occupe de comprendre la notion d'inférence logique, ou conséquence logique, mais je n'en sais pas plus ;
3) Je n'ai pas compris ton point 7., lorsque tu parles de l'enjeu posé par la distinction entre l'affine et l'euclidien ;
4) Je ne sais quoi penser de ta proposition de preuve de Pythagore, si ce n'est que c'est original ;
5) Je n'ai pas compris non plus l'exemple que tu donnes en dernier, qui a l'air très intéressant, mais si tu me donnes quelques références, je peux essayer de chercher.
ignatus.

christophe c · December 2018

De mon téléphone. En un certain sens aucune inférence n'est logique même en maths (j'exagère à peine). Le passage de A à B n'est dans tous les cas qu'une utilisation economisztrice d'encre de A=>B.

Le point 7: bin il y a ce mystère de pourquoi la Nature fournit des angles droits dont on pourrait imaginer qu'une meilleure axiomatisaton de la matière solide devrait les rendre déductibles.

Je n'ai pas de référence car c'est du produit maison.

Math Coss · December 2018

Prétendre démontrer le théorème de Pythagore par un argument de "chemin le plus court" quand on se donne la notion de perpendicularité, de base, de coordonnées donc et de produit scalaire exprimé en coordonnées, c'est se payer de mots.

christophe c · December 2018

@MC : toute preuve se "paie de mots" par essence mais je pense que tu surevalues la quantité de choses supposées dans l'argument que je suggère. Il est très dénudé. Le repère si tu veux qu'il y en ait un ce sont les côtés perpendiculaire du triangle rectangle.

Math Coss · December 2018

Je ne sais pas ce qu'il te faut : si tu as une expression du produit scalaire "comme en première S", tu as le théorème de Pythagore en développant $\langle u+v,u+v\rangle$. Pas besoin d'admettre que la distance d'un point à une droite est atteinte au pied de la perpendiculaire, etc. La remarque a son intérêt pour justifier que la projection orthogonale d'un point sur une droite réalise la distance du point à la droite mais l'inverser, c'est brasser du vent (i.e. faire intervenir des choses qui sont vagues et pas si évidentes pour "démontrer" quelque chose que l'on a déjà).

Aparté : ce sera sans doute difficile de te convaincre tant que tu n'écris pas un document complet où les choses sont bien définies (les droites, notamment), en explicitant toutes les trivialités et les reformulations des définitions, un peu ce que tu refuses de faire chaque fois que quelqu'un te demande de réaliser tes résumés "tout le programme du lycée en 12 pages".

C'est le même reproche que je faisais à ta "démonstration" via la relativité générale, où le théorème de Pythagore était contenue dans le formalisme des formes quadratiques de signature donnée. Ce que je veux dire, c'est que dès que l'on prend une approche où les coordonnées et l'expression de la distance via une forme quadratique définie positive sont acceptées, le théorème de Pythagore est immédiatement contenu dans les axiomes. Faire intervenir une projection sur une droite, des propriétés non triviales de la distance qui résultent de cette expression ou je ne sais quel principe de relativité, c'est se payer de mots.

verdurin · December 2018

Juste pour rire, à propos de la preuve du théorème de Pythagore.
Sur une terre imaginaire, sphérique et seule dans l'univers je prend un triangle de sommets :
le pôle nord,
le point de l'équateur de longitude 0°,
le point de l'équateur de longitude 90°.

J’appelle $a$, $b$ et $c$ les longueurs de ses côtés mesurés sur la sphère.

Je mets une bordure et je le rempli d'eau, il reste fixe.

La « démonstration physique » du théorème de Pythagore prouve que :
$a^2+b^2=c^2$
$b^2+c^2=a^2$
$c^2+a^2=b^2$

On en déduit facilement que $a=b=c=0$.
Puis que toutes les sphères sont de rayon nul.

christophe c · December 2018

@MC je ne demande qu'à être convaincu mais de mon téléphone il est un peu dur de tout formaliser par contre je ne suis pas sur qu'on parle de la même chose car développer le ps ne sert à rien si tu admets pas d'avance Pythagore.

Ce que je dis est juste qu'en admettant peu on obtient que la fonction somme des carrés est constante sur l'ensemble des points à distance K de A. Mais je ne définis pas la distance je suppose juste une bricole à son propos.

christophe c · December 2018

Erratum: en admettant peu géométriquement mais bien entendu beaucoup (connexité etc) pour valider le petit calcul infinitésimale actif dans l'histoire.

christophe c · December 2018

Etant sur un pc, j'écris d'une manière plus symbolique.

ABC est rectangle en A
AB'C' est rectangle en A
B est sur le segment [AB'] superproche de B'
C' est sur le segment [AC] superproche de C'

L'argument consiste à remarquer qu'en négligeant les infiniment petits d'ordre 2 et en supposant $B'C'^2=BC^2$ alors $AB^2+AC^2 = AB'^2 + AC'^2$

En utilisant le fait que les tangentes à un cercle sont les perpendiculaires aux rayons incidents.

christophe c · December 2018

.. et le fait qu'un quart de tour échange en mettant un moins à une des coordonnées.

christophe c · December 2018

Bon de toute façon, c'est un peu hors-sujet, ce n'était qu'une anecdote.

Math Coss · December 2018

Si c'est bien à moi que tu t'adresses, ça ne répond pas à l'objection : si tu pars d'une forme quadratique provenant d'un produit scalaire euclidien, c'est trop tard pour dire quelque chose de significatif sur le théorème de Pythagore parce qu'il est essentiellement dans les axiomes. Pour moi, c'est essentiellement la même chose que quand on définit le pgcd de $a$ et $b$ dans $\Z$ comme un générateur de l'idéal $a\Z+b\Z$ et qu'on s'émerveille de la relation de Bézout.

christophe c · December 2018

Je ne pars pas d'une forme bilinéaire a priori. Juste d'une relation entre perpendicularité et distance:

1/ la plus courte distance d'un point à une droite est réalisée en allant perpendiculairement à cette droite

2/ le vecteur (u,v) est perpendiculaire au vecteur (-v,u)

Par contre j'admets le fait que les distances sont des nombres réels et que la distance est une norme. Certes on retrouve évidemment le reste du matos "quand on s'y connait" (c'est même voulu in some sense) mais "on n'en part pas".

Je crains que tu considères le point2 comme particulièrement gratuit. Mais " l'homme de la rue" le donne gratis. (Un quart de tour échange longueur et largeur des rectangles).

Mais j'investiguerai plus de toute façon c'est intéressant (mais pas ce soir ni de mon téléphone)

Math Coss · December 2018

Pardon d'insister mais le point 2.2.2 est irrémédiablement une forme bilinéaire dont provient la distance. Encore une fois, si tu admets que cette forme bilinéaire permet d'exprimer l'orthogonalité, tu fais un détour au lieu de développer la norme de $u+v$ (ou $u-v$). Je veux bien que tu investigues et ça n'est pas urgent au point de devoir être fait ce soir.

christophe c · December 2018

Je n'ai pas investigue dans la nuit mais je soupçonne 2 mâle entendus.

Le premier est simple : je ne prétends pas inconnu ou inédit tout ça.

Le deuxième est plus discret: je crois que tu me suspectes de vouloir prouver que le ps usuel donne la distance de Pythagore. Or je ne fais pas ça.
Ce que je veux dire est que TOUTES les distances vérifiant tels apparents tout petits axiomes sont une seule et même distance qui est l'usuelle.

Pour l'illustrer ça je te propose d'essayer de prouver ce que je dis dans un corps ordonné (ie sans supposer archimedianite ou connexité) le distance étant à valeurs dans ce corps. En effet, si je t'ai compris ça devrait être facile et purement algébrique et mon usage de nullité d'une érivée entraînant une constance devrait être totalement redondant.

Math Coss · December 2018

C'est bien ce que je soupçonne en effet, pour une raison simple : c'est toi qui l'écris (point 2.2.2). Je ne vois donc pas du tout comment changer de corps permettrait d'arranger les choses.

christophe c · December 2018

Je vais être formel. Soit $K$ un corps ordonné (totalement ordonné).

On s'intéresse à $K^2$. On suppose que $N$ est une norme sur $K^2$. On le munit du produit scalaire usuel $(x,y).(u,v)\mapsto xu+yv$.

Soit $C$ l'ensemble des points $m\in K^2$ tels que $N(m)=1$. On suppose pour tout $m\in C: $ il y a une unique droite $d$ telle que $d\cap C= \{m\}$ et que $d\perp m$ dans le sens que tout vecteur directeur de $d$ a un produit scalaire nul avec le vecteur $\overrightarrow{Om}$.

J'ai pris ces hypothèses car elles sont "homme de la ru-esques" et au fond très faibles, en tout cas beaucoup plus faibles*** que les hypothèses habituelles qui entrainent Pythagore.

Question: peut-en en déduire que $[x^2+y^2 = 1]$ est une équation de courbe $E$ telle que $C\subset E$? (L'autre inclusion ne concerne pas le sens direct de Pythagore)

Cette reformulation permet de répondre aux message qu'envoient tes apparentes objections, car je crains qu'un lecteur les lisant croit (même si tu ne le dis pas) que tu prétends que la réponse est non seulement "oui"***, mais est ultraclassique.

*** on parle ici non pas de démontrabilité, mais de démontrabilité en quelques lignes. Il est raisonnable de penser que si on ne limite pas le nombre de mots des preuves, toutes ces choses sous-entendues soient équivalentes entre elles (au prix de preuves plus longues)

Je rappelle qu'il s'agissait de ma part d'un témoignage d'idée eue en voiture en mode "vite fait", dans le cadre d'une recherche de preuve supposant peu d'admis géométriques, et dont tous sont faciles à admettre pour "l'homme et le femme de la rue". Rien n'empêche que je n'aie pas vu telle ou telle étape simple.

christophe c · December 2018

Je rappelle le caractère populaire de certaines relations concernant les couples de nombres (supposant que $0$ n'apparait nulle part):

$$xv = yu\iff [\exists k: (x,y)=k(u,v)] $$

L'équivalence précédente est une notion de colinéarité, mais en cinquième de proportionnalité

$$xu+yv = 0\iff [(x,y)\perp (u,v)]$$

qui se déduit de deux choses:

1/ la notion de colinéarité

2/ $(a,b)\perp (-b,a)$

Ce point2 est beaucoup moins dogmatique qu'il n'en a l'air, même s'il est puissant.

christophe c · December 2018

Pour te résumer de mon téléphone notre malentendu-desaccord éventuel en français , tes objections peuvent avoir envoye le msg que les propriétés topologiques de IR ne sont pas nécessaires pour prouver qu'il n'y a qu'un seul convexe "bien rond" dans le sens que les droites d'ppui sont toutes perpendiculaires à leur rayon incident provenant d'un unique centre.

C'est possible mais ce que tu as dit "ne le prouve pas".

ignatus · December 2018

Bonsoir,
pour revenir à la question de la physique et sa formalisation, est-ce qu'on pourrait évaluer l'écart entre physique et mathématiques par une notion de complexité ?

Math Coss · December 2018

@christophe : si on sait exprimer l'orthogonalité par une égalité du genre « $xx'+yy'=0$ », le théorème de Pythagore, c'est l'équivalence trivialisée : $\langle u+u',u+u'\rangle=\langle u,u\rangle+\langle u',u'\rangle$ si et seulement si $\langle u,u'\rangle=0$. On peut invoquer la relativité générale pour le démontrer mais avoue que c'est un peu curieux.

@ignatus : Il y a une partie purement mathématique dans la physique, c'est ce qui se passe entre l'énoncé des principes et la démonstration des relations qui en découlent (prédictions). Cette partie est en principe formalisable (même si parfois, les physiciens utilisent des objets pas [encore] clairement définis, comme les différentielles du temps de Newton ou les intégrales de chemins de nos jours). Cependant, sauf erreur, la physique ne peut pas se passer de la justification des principes en amont et de la vérification expérimentale de ses prédictions en aval. Quoi qu'il en soit, si on formalisait une preuve de la physique, elle serait fondée sur les principes de la physique et pas les axiomes des mathématiques.

christophe c · December 2018

@MC: OK au moins je sais maintenant qu'on ne parle pas de la même chose. Ce que j'appelle Pythagore c'est ici :

d(x,y)^2 + d(x,z)^2 = d(x,z)^2

dès que xyz est rectangle en x et sous des hypothèses sur d les moins contestables possibles. Je te l'ai dit à un post précédent. Je ne mets EVIDEMMENT PAS dans les hypothèses que d est la distance induite par le produit scalaire :-D

Math Coss · December 2018

Je comprends de moins en moins. Dans les données de base, il y a un produit scalaire (qui sert à définir l'orthogonalité) et il y a une distance et la question est de réconcilier les deux, à partir du fait que la distance d'un point à une droite est atteinte par la projection orthogonale ?

Foys · December 2018

Les mathématiques scolaires d'une autre époque faisaient ça avec les cas d'égalité des triangles qui sont une façon de formaliser l'intuition des objets qu'on peut déplacer sans les déformer.
Une axiomatique inspirée du programme d'Erlangen (où les groupes de transformation occupent une place centrale) pourrait aider à aborder cette question.

YvesM · December 2018

Bonjour,

@cc: si tu ne définis pas mathématiquement la distance ce que tu demandes n’a pas de sens, ou si tu préfères, c’est faux. Si on choisit la distance de Manhattan entre deux points $d[(x_1,y_1),(x_2,y_2)]=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$ qui est raisonnable puisque c’est bien une distance, alors Pythagore est faux, non ?

christophe c · December 2018

@MC oui!!

@yves: il y a tout de même des hypothèses sur d ce n'est pas une distance quelconque.

christophe c · December 2018

Je profite que je suis connecté pour "modérer" un peu l'enthousiasme de ignatus face aux articles de vulgarisation de JPD.

Ils sont certes passionnants, mais comme, je crois, il doit en livrer un par mois, il manque de recul et vogue un peu au gré des médiatisations. Par exemple, le "soit disant gros résultats" de Levin est en fait une banalité connue et un exercice très routinier de logique, et le fait que Levin ait eu l'idée de le publier est assez comment dire... contingent.

C'est un peu le problème des articles scientifiques: parfois telle ou telle personne décide de prendre dans le "pot commun" un truc, de regarder s'il a un nom d'auteur et, sinon, de le rédiger et de le publier. Les exemples de ce procédé de la promotion professionnelle des chercheurs pullulent.

On peut même prouver beaucoup plus que ce qui est annoncé par JPD, à savoir que même des "procédés magiques" (et donc qui ne sont pas limités par le fait d'être juste aléatoires) dès lors qu'ils respectent certaines contraintes (bien moins exigeantes que de respecter les lois du hasard) ne peuvent pas contourner l'incomplétude de Godel.

Mais encore une fois j'insiste, la phrase la plus importante que tu prononces dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1749408,1752170#msg-1752170 c'est que tout se joue au niveau des axiomes. Il n'y a aucun problème pour ajouter des axiomes pour la bonne raison qu'il n'y a aucun statut objectif d'axiomes: ce ne sont que des hypothèses. Seul l'humain distinguent l'hypothèse du moment et l'axiome pérenne.

Dès lors, rien n'interdit d'utiliser la physique "en commentaire" de ton texte MATHEMATIQUE pour signaler que tel et tel et tel autre axiome ne sont pas sortis de nulle part mais inspirés par la physique.

Comme je l'ai dit dans le premier post de ce fil, la plupart du temps, ces axiomes prennent la forme de "il y a une solution symétrique"** ou de "il existe un machin"*** (généralement une fonction ayant de bonnes propriétés).

** on sait par ailleurs qu'il existe des solution (mais on n'en connait pas a priori de symétriques)

*** on sait par ailleurs prouver que tout machin entraine la conclusion

Et une fois de plus, je me répète, le théorème de COMplétude, beaucoup plus que celui d'INCOMplétude clôt une grosse partie du débat.

Il est peut-être aussi important de noter que (j'en ai donné 1000 fois des preuves de 3 lignes) le théorème de complétude est un énoncé donc ça ne se voit pas, mais sa preuve a l'immense avantage de faire remarquer que la stratégie est "quasi-constante" pour le prouveur dans la partie prouveur-sceptique:

je la rappelle:

1/ Lister (avant la parties) toutes les phrases $A_1,A_2,....$.

2/ Proposer au sceptique (on est en position $P$) de choisir entre continuer en prouvant $A_n\to P$ et continuer en prouvant $(A_n\to P)\to P$.

3/ Le sceptique choisit, on prend l'hypothèse qu'on jette dans le panier des admis, et on se retrouve à nouveau en position $P$, MAIS, avec en plus ou bien $A_n\to P$ ou bien $A_n$ dans les hypothèses.

4/ Ou bien au bout d'un temps fini la partie peut être gagnée en 3 coups par KO contre le sceptique, ou bien le panier final est un modèle de $non(P)$.

ignatus · January 2019

Bonjour christophe c,

je ne polémiquerai pas sur les articles de vulgarisation de JPD. Pour mon niveau personnel, ils sont tout à fait adaptés et intéressants.
Par contre, ce que tu dis ici suscite ma curiosité :

christophe c a écrit:

On peut même prouver beaucoup plus que ce qui est annoncé par JPD, à savoir que même des "procédés magiques" (et donc qui ne sont pas limités par le fait d'être juste aléatoires) dès lors qu'ils respectent certaines contraintes (bien moins exigeantes que de respecter les lois du hasard) ne peuvent pas contourner l'incomplétude de Godel.

D'après JPD, Levin a montré que les procédures aléatoires ne pouvaient éviter les théorèmes d'incomplétude. Il postule cependant que ce serait le cas pour tout processus physique, du fait d'un principe qu'il appelle principe de conservation de l'information. Je n'ai pas compris ce passage, et j'aimerais bien que tu me l'expliques. Si tu peux en plus le démontrer, c'est encore mieux, je suis preneur !

Tu as raison de pointer que tu avais toi-aussi, comme Math Coss, compris dès le début que tout se jouait au niveau des axiomes. Personnellement, je n'ai "tilté" qu'avec l'argument de Foys, au sujet du théorème de complétude

christophe c · January 2019

De mon téléphone je ne peux guère te dire qu'une chose je te répondrai mieux d'un PC.

Le théorème de Godel est très mal présenté. La "bonne manière" de le comprendre est hélas provocatrice. Elle consiste à dire que toute théorie riche (comme Peano) prouve des trucs faux.

Il n'y a donc aucun espoir de l'esquiver que ce soit avec du vrai hasard du faux hasard ou quelque autre magie modérée. Toute amélioration même venue de la planète Mars ou sortie d'un film de magie conduirait à la toute puissance (ie à prouver tout ce qu'on veut).

Je détaillerai d'un PC. J'ai souvent détaillé ce point dur le forum mais et c'est normal il est reste quand même mal compris. Je recommencerai.

christophe c · January 2019

Concernant ta dernière phrase je ne sais si le mot "comprendre" est approprié. Je dirais plutôt "savoir". Ça provient t d'u e expertise ou d'une expérience formelle si tu veux assez fournie et longue. Sans mettre exagérément en cause l'erudition de Math Coss il ne me semble pas expert en lambda calcul , théorie de la démo etc. Ca ne l'empêche pas d'avoir le bon instinct bien sûr mais je préfère te dire que le fait qu'on peut "virer les règles" (je simplifie) est un aboutissement assez long des recherches en LM avec plusieurs collaborations de savants devenus célèbres. Même si c'est peu étonnant à l'arrivée le pari n'était pas gagné d'avance. Il ne l'est d'ailleurs toujours pas totalement vu que la logique affine PROPOSITIONNELLE est NP complète.

christophe c · January 2019

Je suis sur un pc, mais sur l'autoroute et peu disponible pour lancer une longue dissertation. Un exercice ultra-classique de théorie de la mesure peut t'aider à comprendre ce qui se passe. Le théorème de Levin n'en est qu'une reformulation pour un autre public.

1/ Essaie d'apprendre la notion d'ordinal
2/ Idem avec la notion de Turing-réductibilité

3/ Soit $x$ un réel. On note $s(x)$ le plus petit ordinal $a$ tel qu'il n'existe pas d'ordinateur qui, en se servant de l'oracle $x$ peut construire un bon ordre de type $x$.

L'exercice est le suivant: prouve que pour Lebesgue presque tout $x$, s(x) = s(0)$. Autrement dit, l'aléatoire ne donne pas de puissance algorithmique, il peut juste changer la complexité en termes de "rapidité pragmatique"

Un autre exercice, purement godélien, lui aussi grand classique: prouve que dans toute théorie riche, la phrase "je suis prouvable" est prouvable.

Dernier exo: on s'autorise à parler au second ordre et on se place dans un système formel riche. On suppose que le prédicat $E$ signifie "est évident". Soit $W$ l'énoncé $\forall X,Y: ( [E(X)\wedge E(X\to Y)] \to Y )$. Soit $P$ la phrase telle que $P = \exists X: [E(X\to (W\to non(P)) ) \wedge E(X) ]$.

a/ Prouve $P$
b/ déduis-en $non(W)$
c/ Conclus

(Tu alimenteras évidemment en axiomes incontestables de quoi gérer $E$ pour faire l'exo)

Volà pardon, c'est un peu du vite fait, mais si tu fais ça sérieusement, tu comprendras beaucoup, mais beaucoup plus que juste le petit truc émergeant publié par Levin qui ne traite qu'une partie médiatique de choses bien plus uniformes que présentées à travers un débat de néophytes sur l'apport de la physique.

ignatus · January 2019

Bonsoir christophe c,

la rentrée approchant, j'ai un peu moins de temps.
Dans l'immédiat, mon objectif est de lire le livre de Gilles Dowek sur les démonstrations et algorithmes pour me familiariser avec la notion d'assistant de preuves.
J'ai aussi acheté le livre de Patrick Dehornoy sur la théorie des ensembles, mais à l'époque, j'avais buté sur les exemples donnés à la fin du chapitre deux, consacré aux ordinaux. Du coup, j'avais abandonné la lecture du livre...
Je vais relire ce chapitre, et voir si j'arriverai à mieux comprendre les exemples.

Ton premier exercice me semble énigmatique. J'y réfléchirai avant de te poser des questions.

ignatus.

christophe c · January 2019

Je te détaille un peu les exos.

Ordinal :

$<<x$ est un ordinal$>>$ abrège $<<x$ est un ensemble transitif et toute partie $u$ non vide de $x$ vérifie qu'il existe dans $u$ un élément $m$ tel que pour tout AUTRE élément $y$ de $u: m\in u$ et pour tout élément $z\in m: m\notin z>>$

On peut l'exprimer plus courtement, mais cette façon "tue" toute difficulté de débutant de l'oeuf.

Si $a$ est un ordinal alors $a\cup \{a\}$ en est un aussi, qui est souvent nommé $a+1$. De plus si $X$ est un ensemble quelconque d'ordinaux alors la réunion de ses éléments est un ordinal.

En bref, les ordinaux généralisent les entiers que toute collection non vide d'ordinaux a un minimum avec l'avantage qu'il "montent aussi qu'on veut" et le prix à payer qu'un ordinal n'a pas forcément de prédécesseur immédiat.

Pour tout ordinal dénombrable $a$, il existe une partie $R\subset \N^2$, qui est un bon ordre sur $\N$ et qui "représente" $a$ en ce sens qu'il existe une unique bijection croissante de $(\N,R)$ sur $(a,\in)$ (je traite tous les ordres comme stricts).

"Ensemble transitif" veut dire "contenir les éléments de ses éléments".

Degré de Turing:

c'est une notion très simple. Un réel est "essentiellement" (pour ce qui nous occupe) une partie de $\N$ (c'est une partie de $\Q$, mais comme $\Q$ et $\N$ sont en bijection..).

Soient $a,b$ deux parties de $\N$. le degré deTuring de $a$ est $\leq_{Turing} $ celui de $b$ quand il existe un programme de type [Entrée: un entier n; Sortie: réponse oui ou non] qui te permet de connaitre $a$ (ie pour chaque $n$ il répond bien à la question $n\in a$), qui n'utilise (en plus de la programmation habituelle) qu'une fonction "magique" qui renvoie la fonction caractéristique de $b$ (ie $n\mapsto $ if $n\in b$ then oui else non).

Hauteur d'un réel: soit $x$ une partie de $\N$. (On considère les parties de $\N^2$ comme des parties de $\N$, en prenant n'importe quelle bijection canonique entre les deux). Soit $T_x$ l'ensemble des parties $R$ de $\N^2$ qsui sont des bons ordres et telles que $R\leq_{Turing} x$. La hauteur de $x$ (c'est un mot que j'invente, je crois qu'officiellement, il s'appelle $\omega_1(x)$, mais pas sûr) est le plus petit ordinal qui majore $T_x$.

Il existe une forte proximité (voire même c'est quasiment une égalité) entre la complexité des théories et les mesures de hauteur de réels. Mais hélas, ça fait un peu doublon, car beaucoup d'informaticiens "du fini et pratique" ré-inventent régulièrement l'eau chaude connue depuis des lustres en TDE "infinitistes.

Mais ce n'est pas grave, ça fait vivre du monde. Donc la littérature est souvent très cryptée, puisqu'on a souvent des "redécouvertes" qui (soit pour faire sérieux, soit par sincérité un peu maladroite) usent et abusent de typologies ultrasavantes décourageantes, avec d'horribles preuves par récurrence ou arguments de priorité non nécessaires. L'utilisation des axiomes infinitistes permet souvent d'avoir une vision simplifiée et claire et les preuves sont souvent de simples constats d'évidences. Hélas, (entre guillemets), ça découle d'axiomes puissants. Cela dit, à moins de vouloir mesurer des théories très faibles comme Peano, le débutant aura avantage à "admettre" les axiomes puissants s'il veut avoir une vue globale sans s'arracher les cheveux. L'exemple typique dont découle beaucoup de choses est l'énoncé que tout ensemble "non construit avec l'axiome du choix" et stable par Turing-équivalence contient ou est disjoint d'un cône (un cône est l'ensemble des réels Turing plus grand qu'un réel donné). C'est trivial (comme conséquence de AD, qui lui est intuitif ou désirable si tu veux), mais peut remplir un article de 30 pages hyper-techniques pour qui voudrait le prouver "informatiquement".

Ce que je te disais est qu'un réel aléatoire n'apporte aucune Turing puissance.

ignatus · January 2019

Salut christophe c,

je n'ai pas oublié mes exos ! Mais j'ai pas mal d'autres centres d'intérêts également.
Je me permets, malgré tes réticences, de t'indiquer ce lien

Apparemment, il semble possible d'améliorer la puissance démonstrative d'une théorie en ajoutant des axiomes bien choisis qui donnent une information sur la complexité de certaines suites. La restriction est qu'une suite bien choisie de complexité n permet de démontrer tous les résultats de complexité inférieure à n.

Sinon, j'ai regardé sur wikipedia, les articles consacrés à nombre ordinal et degré de Turing. Pour mieux comprendre cette dernière notion, j'ai besoin d'en savoir plus sur le problème de l'arrêt et le concept d'oracle.

ignatus.

christophe c · January 2019

Merci pour le lien.

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