Négation d'une proposition.

IchigoKurosaki14 · December 2018

Bonjour
Je fais appel à vous car il y a un détail que je n'ai pas compris dans mon cours d'algèbre. En effet, la proposition est la suivante.

Une famille est libre si et seulement si aucun vecteur de V ne peut s'écrire de deux manières différentes comme combinaison linéaire de la famille.

Ma question est la suivante : si je nie cette proposition, "aucun" devient " pour tout" ou " aucun " devient " il existe au moins un" ?

Merci.

gerard0 · December 2018

Difficile de te répondre. Le mieux serait que tu formalises la définition de famille libre. Généralement, le aucun se formalise par un quel que soit suivi d'une négation, mais on peut aussi nier une proposition commençant par "il existe" : $\forall ... non( ...)$ ou $non (\exists ....)$.

Intuitivement, le contraire de "aucun" est "il y en a au moins un", non ?

Cordialement

YvesM · December 2018

Bonjour,

J’essaie de répondre. La négation de $A$ est $non(A)$. ‘aucun’ signifie ‘pas au moins un’ et sa négation est donc ‘pas(pas au moins un)’ et est donc ‘au moins un’.

Vérifions sur un exemple :
On a une voiture rouge et deux vertes.
Propriété : Aucune voiture n’est bleue.
La négation de cette propriété ne peut pas être ‘ toutes les voitures sont bleues.’
La négation est plutôt ‘au moins une voiture est bleue’. En effet, si on a une voiture bleue et d’autres d’autres couleurs, l’affirmation ‘aucune voiture n’est bleue’ est fausse.

Maxtimax · December 2018

"aucun $x$ ne vérifie $P$" est une manière informelle de dire ou bien $\neg (\exists x, P(x))$ ou bien $\forall x, \neg P(x)$.

Classiquement, les deux sont équivalents et donc il n'y a pas d'ambiguïté, la négation est donc $\exists x, P(x)$ donc "il existe un $x$ qui vérifie $P$".

IchigoKurosaki14 · December 2018

Merci beaucoup !

Négation d'une proposition.

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Bonjour!

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