Résoudre par modus ponens

Heu ... tu crois vraiment qu'on peut prendre n'importe quoi comme prémisses ?? Même si ça n'a aucun rapport avec la conclusion (comme ton $f(x_0)>0$) ???

Et ce que tu dois obtenir au final n'est-il pas "f est croissante" ???

Cordialement.

NB : drôle d'idée de choisir ce genre de question très calculatoire pour faire de la logique.

Pourquoi dois-tu trouver ça ? Et à quel niveau ?
Sais-tu démontrer classiquement que cette fonction est croissante ?

Hubhub a écrit:

Pour moi, "Opérateurs logiques" se rapporte à la logique des propositions et "quantificateurs" à la logique des prédicats.

Opérateurs logiques : et, ou, non, éventuellement dans certaines classes de techniques industrielles nor, xor, .. traités par les profs d'automatique.
Quantificateurs : il existe, quel que soit.

Pas de théorie de la démonstration, pas de cours de logique encore moins de logique aristotélicienne.

Ton énoncé se démontre de façon simple en étudiant la dérivée (il est mal écrit, je suppose que c'est exp(-x)+1, mais ça marche aussi avec exp(-x+1) ). Dans ce cas, une fois les calculs faits, si tu tiens à du modus ponens, tu écris
La dérivée est positive sur $[0,+\infty[$;
Si une fonction a une dérivée positive sur un intervalle alors elle est croissante
Donc la fonction est croissante sur $[0,+\infty[$.

Mais en maths, on simplifie la rédaction en n 'insistant que sur ce qui peut être difficile à saisir. Ce type de raisonnement se faisant partout, on ne perd pas de temps avec.

Cordialement.

NB : Tu prépares le capes avec le CNED ?

Je n'avais pas fait attention à la précision "sur $\R^+$".

On peut procéder directement en fixant $x<y$. On sait que $t\mapsto t^2$ est strictement croissante sur $\R^+$ que $\exp$, $t\mapsto t+1$ sont strictement croissantes sur $\R$, que $t\mapsto1/t$ est strictement décroissante sur $\R^{+*}$ et que $t\mapsto -t$ l'est sur $\R$. On a donc successivement :

• $x^2<y^2$, puis $x^2+1<y^2+1$ ;
• $\exp(-x)>\exp(-y)$, puis $\exp(-x)+1>\exp(-y)+1$ et $\dfrac{1}{\exp(-x)+1}<\dfrac{1}{\exp(-y)+1}$ ;
• enfin, par produit : $\dfrac{x^2+1}{\exp(-x)+1}<\dfrac{y^2+1}{\exp(-y)+1}$.