Résoudre par modus ponens
Bonjour à tous :-)
Je cherche à utiliser la règle du modus ponens pour cette question.
Montrer que la fonction définie par $$f(x)=(x^2+1)/(\exp{-x} +1)$$ est croissante sur $\R^+.$
Je cherche donc des prémisses mineures et des prémisses majeures afin d'obtenir mon modus ponens i.e. ma fonction est croissante sur son ensemble défini.
Je me dis que je dois obtenir au final $\quad f(x_{n+1}) > f(x_{n}) .$
Donc je me dis que ma prémisse mineure est $\quad f(x_0) >0,$
et que ma prémisse majeure est $\quad f(x_0)>0 \to f(x_1)>f(x_0).$
Pensez-vous que cela soit correct ? J'ai des doutes... :-P
Je cherche à utiliser la règle du modus ponens pour cette question.
Montrer que la fonction définie par $$f(x)=(x^2+1)/(\exp{-x} +1)$$ est croissante sur $\R^+.$
Je cherche donc des prémisses mineures et des prémisses majeures afin d'obtenir mon modus ponens i.e. ma fonction est croissante sur son ensemble défini.
Je me dis que je dois obtenir au final $\quad f(x_{n+1}) > f(x_{n}) .$
Donc je me dis que ma prémisse mineure est $\quad f(x_0) >0,$
et que ma prémisse majeure est $\quad f(x_0)>0 \to f(x_1)>f(x_0).$
Pensez-vous que cela soit correct ? J'ai des doutes... :-P
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Réponses
Et ce que tu dois obtenir au final n'est-il pas "f est croissante" ???
Cordialement.
NB : drôle d'idée de choisir ce genre de question très calculatoire pour faire de la logique.
Sais-tu démontrer classiquement que cette fonction est croissante ?
Ce qui est étonnant, c'est que cette fonction n'a pas du tout l'air croissante. Est-ce que la question ne serait pas plutôt de démontrer la croissance de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ définie par $x_0\in\R$ et, pour tout $n\in\N$, $x_{n+1}=f(x_n)$ ? Vois-tu la différence ?
J'ai pris le programme du concours externe du Capes-Section mathématiques et le premier bloc à connaître est "Opérateurs logiques et quantificateurs".
Pour moi, "Opérateurs logiques" se rapporte à la logique des propositions et "quantificateurs" à la logique des prédicats.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
J'ai revu l'exercice et il s'agit bien de montrer sans calculer des dérivées que la fonction f est croissante sur R+.
Quantificateurs : il existe, quel que soit.
Pas de théorie de la démonstration, pas de cours de logique encore moins de logique aristotélicienne.
Ton énoncé se démontre de façon simple en étudiant la dérivée (il est mal écrit, je suppose que c'est exp(-x)+1, mais ça marche aussi avec exp(-x+1) ). Dans ce cas, une fois les calculs faits, si tu tiens à du modus ponens, tu écris
La dérivée est positive sur $[0,+\infty[$;
Si une fonction a une dérivée positive sur un intervalle alors elle est croissante
Donc la fonction est croissante sur $[0,+\infty[$.
Mais en maths, on simplifie la rédaction en n 'insistant que sur ce qui peut être difficile à saisir. Ce type de raisonnement se faisant partout, on ne perd pas de temps avec.
Cordialement.
NB : Tu prépares le capes avec le CNED ?
et merci pour la démonstration du modus ponens.
Je prépare le capes sans le cned.
On peut procéder directement en fixant $x<y$. On sait que $t\mapsto t^2$ est strictement croissante sur $\R^+$ que $\exp$, $t\mapsto t+1$ sont strictement croissantes sur $\R$, que $t\mapsto1/t$ est strictement décroissante sur $\R^{+*}$ et que $t\mapsto -t$ l'est sur $\R$. On a donc successivement :
Cordialement.