Raisonnement par l'absurde

Je ne suis pas spécialiste non plus, mais voici quelques éléments de réponses :
1) c'est une règle admise de raisonnement que si $A\rightarrow$ FAUX alors non$A$ est vrai (est démontré).
2) on ne définit jamais ce qu'est un ensemble à part dans des modèles spéciaux, mais au sens des mathématiques "de tous les jours" on ne le définit pas. C'est un choix, de toute façon il faut bien partir de quelque part.
3) pour définir formellement la théorie des ensemble, je crois que l'axiomatique la plus connue est Zermelo Fraenkel.
4) on ne démontre cependant jamais que cette axiomatique est non contradictoire, car au contraire on peut démontrer qu'on ne peut pas le démontrer à l'intérieur de cette axiomatique (il s'agit de théorème de Gödel). Pour une preuve de cohérence d'une théorie 1, il faut toujours une théorie 2 qui soit "plus forte". Mais on est bien obligé de s'arrêter un jour.
5)Il y a plein de livres de logique niveau licence. Ex : Les livres de Cori et Lascar que l'on peut trouver partout https://amzn.to/2RIeebL

En espérant t'avoir été utile.

Les cours en ligne de Patrick Dehornoy sont devenus un (très bon) livre, enrichi de beaucoup de choses. Je le recommande pour découvrir cette belle théorie ;-)

De mon téléphone. Le raisonnement par l'absurde est l'axiome qui dit :

Si si non X alors faux alors X.

Attention ce n'est pas l'axiome qui dit :

Si si X alors faux alors non X

qui est un théorème intuitionniste.

La logique classique est celle qui s'obtient en ajoutant le RPA à la logique intuitionniste.

La logique intuitionniste est l'ensemble des énoncés qui , si tu les considères comme des noms d'ouverts d'espaces topologiques sont égaux à l'espace entier le implique étant défini par :

X implique Y est le plus grand ouvert W tel X inter W inclus dans Y.

De mon téléphone.

J'étais sur mon téléphone, j'améliore un peu ce que j'ai dit et complète les bases. Je te redonne aussi l'exemple que j'ai donné 2305648 fois sur le forum et que foys a posté car, dans le doute, comme il utilise des abréviations de matheux du genre $u\in v=w$ et exploite une variable liée ("supposons qu'il existe $m$, alors blabla (m)"), je ne suis pas sûr que tu sois opérationnelle que ces raccourcis n'introduisent pas subrepticement de la puissance logique.

Je simplifie pour que tu sois comblé dans ce que tu demandes, mais je ne sacrifie rien d'autre. En conséquence de quoi, il n'y aura que le signe $\to$ (implique) qui sera utilisé. J'utilise le paradigme hilbertien: il faut savoir que ce n'est pas le plus pratique, mais que c'est ce qui permet de te répondre complètement en quelques lignes. Il y a bien sûr des paradigmes plus confortables.

1/ Une logique est un ensemble $X$ d'énoncés appelé "axiomes logiques".

2/ Ses théorèmes sont les éléments qui se trouvent dans tous les ensembles $Y$ tels que $X\subset Y$ et $Y$ stable par modus ponens, c'est à dire $\forall u,v: [$ si $u\in Y$ et $(u\to v)\in Y$ alors $v\in Y ]$. Dans la suite, si besoin, je noterai cet ensemble $Th(X)$

3/ Le théorème de complétude dit que toutes les logiques non triviales (trivial:=contenir tous les énoncés) sont incluses dans l'ensemble des théorèmes de la logique classique (appelés "tautologies").

4/ il existe un $X$ très simple tel que $Th(X)=LogiqueClassique$, qui est l'ensemble contenant tous les énoncés d'une des formes suivantes:

4.1/ $(u\to v)\to ((v\to w)\to (u\to w))$
4.2/ $u\to (v\to u)$
4.3/ $(u\to (u\to v))\to (u\to v)$
4.4/ $(u\ ou \ v) \to (v\ ou \ u)$, où $(x\ ou\ y)$ est juste considéré comme une abréviation de $(x\to y)\to y$

5/ si on retire 4.4 on obtient un ensemble d'axiomes $Z$ tel que $Th(Z)$ est appelé "LogiqueIntuitionniste"

6/ L'expression "raisonnement par l'absurde" est en fait un argot populaire pour désigner le fait d'utiliser l'axiome 4.4. Il n'y a pas de raisonnement par l'absurde, il y a, quand on s'exprime correctement, un axiome du raisonnement par l'absurde.

7/ Le fait de déclarer "j'ai raisonné par l'absurde" est légitimé par le fait qu'on a procédé comme suit:

7.1/ on a supposé $A\to B$
7.2/ On en a déduit $A$
7.3/ On conclut en disant "donc $A$"

8/ C'est permis par l'axiome 4.4 pour la raison suivante:
supposons $(A\to \to A$ alors $(A\to \to ((A\to \to $, donc (4.3) $(A\to \to B$, donc (4.4) $(B\to A)\to A$, donc $A$ dès lors que $B$ a suffisamment de conséquences (en fait précisément dès lors qu'il entraine $A$)

9/ Le "non": jusqu'ici je n'ai pas considéré "non" comme faisant partie du langage. Je te l'introduis "populairement" maintenant en prouvant le théorème suivant sans dire dans quel système d'axiomes on travaille. Il t'appartient de vérifier que tu as envie ou pas d'adhérer aux choses que je ne justifie pas dans le raisonnement. J'abrège par $\perp$ la phrase "tout est vraie".

9.1/ Supposons que $A\to \perp$. Alors $non(\perp) \to (non(A))$, donc $non(A)$.

9.2/ Réciproquement, supposons $non(A)$. Alors $(non(\perp))\to (non(A))$, donc $non(non(A)) \to non(non(\perp)$, donc $A\to \perp$.

10/ Il n'est pas donc pas possible de faire autrement que d'avoir équivalence entre $non(A)$ et $(A\to \perp)$.

11/ C'est pourquoi, il est devenu célèbre que l'axiome du raisonnement par l'absurde est juste le fait d'admettre que :

$$ [non(non(A)) ] \to A$$

12/ De même il est devenu célèbre que c'est aussi équivalent à admettre :

$$ A \ ou \ non(A) $$

qui s'appelle le tiers exclus.

13/ Attention, il est très important de ne pas confondre :

$$(13.1) : \ A\to (non(non(A))) $$

qui est vrai dans toutes les logiques actuellement connues et est en fait complètement trivial; avec :

$$(13.2) : \ [non(non(A)) ] \to A$$

qui est l'axiome du raisonnement par l'absurde.

14/ Je commente (13.1): $A\to (non(non(A))) $ est une abréviation, d'après 9, de :

$$ A\to ((A\to \to $$

qui n'est rien d'autre à l'ordre près que l'énoncé:

dans le cas particulier où $B:=\perp$

En effet, si tu écris tout avec des si alors, tu peux contempler:

14.1/ si A alors si si A alors B alors B
14.2/ si si A alors B alors si A alors B

L'un exprime: si A et (si A alors alors B
L'autre exprime si (si A alors et A alors B

Sauf que l'autre est de la forme "si X alors X"

15/ Je reviens sur l'info que te poste foys: avec $e:=\{x\mid (x\in x)\to P\}$ tu n'as rien d'autre qu'une phrase $Q$ telle que :

$$ Q = (Q\to P)$$

en l’occurrence la phrase $e\in e$.

Du coup, tu as que $Q\to (Q\to P)$ donc $Q\to P$, donc $Q$.... Donc $P$

Et il n'y a aucun besoin de RPA pour en arriver là.

GBZM t'a aussi fait une réponse en annonçant que tu étais à l'aise avec le paradigme topologique, mais je n'ai pas l'impression que tu as signalé cette aisance. Et bien, je te conseille de l'acquérir, elle est assez jouissive.

Par exemple, $A\to \perp$ dans le paradigme topologique, c'est $A\to \emptyset$, c'est à dire le plus grand ouvert disjoint de $A$, et c'est ça $non(A)$ et $non(non(A))$ c'est $(A\to \emptyset )\to \emptyset $, tu vois c'est rigolo.

On peut "aller loin", par exemple, avec la topologie des parties cofinies de $E$ ($E$ n'étant pas fini), il n'y a pas grand monde qui soit des $X$ tel que $non(non(X))$ soit autre chose que l'espace entier, (ie le "vrai").

Tu vois qu'affirmer $non(non(X)) \subset X$ c'est un truc d'une nature différente et énorme.

Dans la vraie vie ça correspond, suite à une découverte de Griffith (ou Griffin, je ne me rappelle jamais, prénom Timothy) à un truc assez épatant:

Pour t'emmener dans $A$ un chauffeur de Taxi exige le digicode qui permet de passer de $A$ à $B$. Question: comment aller dans $A$ sans avoir ce digicode? Réponse: donner un faux digicode au chauffeur (il ne peut le refuser qu'en t'emmenant dans $A$ et en le tapant sur la porte qui, de $A$ mène à $B$. Mais, tu t'en fous, tu lui dis, "c'est bon merci", vu que tu es arrivé dans $A$)

A cause à ça, à chaque fois que le le programme sur machine, je l'appelle "fonction bluf" :-D ). Par exemple, en caml:

[color=#0033FF]exception Stop
let reserve = ref []
let bluf x = begin reserve := [x] ; raise (Stop) end
let rpa u = try u bluf with | Stop -> let [x] = (!reserve) in x[/color]

D'un PC, ce sera plus joli que de mon téléphone.

Un algèbre de Heyting est un ensemble ordonné (j'abrège parfois en disant un ordre) où tout ensemble fini a une borne sup et une borne inf et où pour tous $a,b$, il existe un plus grand élément $x$ tel que $inf(a,x)\leq b$, que l'on note $(a\to b)$

Un algèbre de Boole est une algèbre de Heyting dans laquelle pour tout $x: non(non(x)) = x$, où $non(x):=(x\to InfDeToutLeMonde)$

(Sauf erreur, je ne connais pas les choses par coeur, je les repense à chaque fois).

Remarque de notation: $1:=inf(\emptyset)$ et $0:=sup(\emptyset)$ sont des notations "habituelles", je crois. Sur le forum, j'ai tenté de conditionner les gens à écrire $Tout$ à la place de $0$.

Evidemment (par définition): $InfDeToutLeMonde=0$