Somme des racines de U au carré

MacMahon
MacMahon
dans Algèbre
Bonjour,
Nous avons $n\in\mathbb{N}^*$ et $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ soit $Z= \sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^{k^2}$ on cherche a calculer ${\left|Z\right|}^2$.Mis a part remarquer que $\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^{k^2}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^{(k+n)^2}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^{(n-k)^2}$ ou encore que pour un $k^2$ multiple de $n$ le terme de la somme correspondant est 1, je ne vois pas trop comment m'y prendre.
En espérant que l'un d'entre vous puisse m'orienter.

Merci d'avance.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    $|Z|^2=Z\overline{Z}$ et $k^2-j^2 = (k-j)(k+j)$
  • MacMahon
    MacMahon
    Maxtimax a écrit:
    $|Z|^2=Z\overline{Z}$

    Ce n’était pas cette partie qui posait problème.
    Maxtimax a écrit:
    $k^2-j^2 = (k-j)(k+j)$

    Lorsque l'on développe on a bien $e^{\frac{2i\pi 0}{n}} \sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{\frac{\text{-}2i\pi k^{2}}{n}} +e^{\frac{2i\pi 1^2}{n}} \sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{\frac{\text{-}2i\pi k^{2}}{n}}...+e^{\frac{2i\pi {(n-1)}^{2}}{n}} \sum\limits_{k=0}^{ n-1}e^{\frac{\text{-}2i\pi k^{2}}{n}}$ donc pour $j$ un indice particulier de la première somme $Z$,nous avons $e^{\frac{2i\pi j^2}{n}} \sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{\frac{\text{-}2i\pi k^{2}}{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi}{n}(k-j)(k+j)}$. a moins qu'il existe une formule sur les sommes que j'ignore je ne vois pas pourquoi cette somme serait plus simple a calculer mise sous cette forme...

    Merci tout de même d'avoir pris le temps de me répondre.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu peux essayer de faire un changement de variable $(a,b)=(k-j,k+j)$.
  • MacMahon
    MacMahon
    Math Coss a écrit:
    Tu peux essayer de faire un changement de variable $(a,b)=(k-j,k+j)$

    Oui je crois bien que c'est la bonne méthode en effet.
    Par contre en essayant de faire de changement d'indice je me retrouve avec les extrémités de chaque somme dépendantes des indices de l'autre somme, ce qui n'est en soi pas un problème pour la somme interne mais l'est un peu plus pour la somme externe.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Dans la double somme sur $k$ et sur $j$, change l’indice $j$ en indice $a$ avec $k-j=a$... et regarde si la double somme sur $k$ et sur $a$ se simplifie.
  • claude quitté
    claude quitté
    $\def\L{\left({k \over p}\right)}\def\F{\mathbb F}$@MacMahon
    Est ce que tu ``nous dit tout'' ? Sommes de Gauss, Finite Fourier transform (from Auslander & Tolimieri), ou matrice de Vandermonde associée à une racine de l'unité ...etc... cela te dit quelque chose ? Je note $S_n$ ta somme (au lieu de $Z$), sorry. La réponse (sans explication pour l'instant) est :
    $$
    S_n \overline {S_n} = \cases {
    n &si $n \equiv 1,3 \bmod 4$\cr
    0 &si $n \equiv 2 \bmod 4$ \cr
    2n &si $n \equiv 0 \bmod 4$ \cr}
    $$
    On sait même déterminer $S_n$ (ce qui est mieux que $S_n\overline {S_n}$) mais c'est beaucoup plus difficile (et analytique, pas seulement algébrique).

    Si $n = p$ est un premier impair, $S_p$ est la somme de Gauss à droite , que je note $G$, dans lequel intervient le symbole de Legendre.
    $$
    S_p = \sum_{k \in \F_p^*} \L \omega^k := G
    $$
    Cela se montre en écrivant $G = G_0 - G_1$ avec des notations que tu dois deviner ! Et $1 + G_0 + G_1 = 0$ (cela tu connais) de sorte que $G = 1 + 2G_0$ c.a.d
    $$
    G = 1 + 2 \sum_{k \in \F_p^{*2}} \omega^k = \sum_{x \in \F_p} \omega^{x^2} = S_p
    $$
    Bilan : celui qui (quand $n$ est premier) joue avec $S_p$ joue en fait avec la somme de Gauss $G$. Et $G$ ce n'est pas rien. Car $G \overline G$, cela se mérite. Quant à la détermination de $G$ (the sign of the Gauss sum, sous entendu analytic Gauss sum), cela lui a pris des années (à Gauss).

    Note : ici, dans notre (sic) histoire avec $S_n\overline {S_n}$, c'est algébrique et pas analytique.

    Je ne sais pas s'il y aura une suite. Cela ne dépend pas que de moi.
  • claude quitté
    claude quitté
    @MacMahon
    Suite. Il y a beaucoup de gens qui ne comprennent pas la différence entre une racine primitive $n$-ième de l'unité algébrique et LA racine primitive $n$-ième de l'unité analytique, la vraie de vraie, the so-called $e^{2i\pi/n}$. J'ai même renoncé à expliquer. Souvent, on n'a pas besoin de la vraie. Et heureusement. Quant on a besoin de la vraie, c'est du sérieux de chez sérieux (the sign of the Gauss sum, plusieurs années pour Gauss, si je me souviens bien).

    Une fonction algébrique, vachement complexe, qui implémente ta somme. Bien sûr $K = \Q(z) = \Q[X]/\langle \Phi_n \rangle$ où $z$ est la classe de $X$ modulo $\Phi_n$, le polynôme cyclotomique de niveau $n$. 
    [color=#000000]
MacMahonSum := function(n)
  K<z> := CyclotomicField(n) ;
  ConjugaisonComplexe := iso < K -> K | z^-1 > ;
  S := &+[z^(k^2) : k in [0..n-1]] ;
  return S*ConjugaisonComplexe(S) ;
end function ;
[/color]
    Et voilà ce que cela donne (les 3 cas selon $n \bmod 4$) 
    [color=#000000]
> N := 30 ;
> // n impair
> [MacMahonSum(n) eq n : n in [1..N by 2]] ;
[ true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, true, true ]
> // n = 2 mod 4
> [MacMahonSum(n) eq 0 : n in [2..N by 4]] ;
[ true, true, true, true, true, true, true, true ]
> // n = 0 mod 4
> [MacMahonSum(n) eq 2*n : n in [4..N by 4]] ;
[ true, true, true, true, true, true, true ]
[/color]
    C'est ce que l'on (?) doit montrer. Et pourquoi je te raconte cela ? Pour te convaincre que c'est algébrique ``donc'' facile.

    A suivre ? Cela me permettrait de revenir des années en arrière avec Auslander & Tolimieri.
  • claude quitté
    claude quitté
    @MacMahon
    Je suis à la recherche sur le net de preuves les plus élémentaires possibles de ton affaire. Je ne sais pas si c'est cela que tu souhaites.

    Ici, https://mast.queensu.ca/~murty/quadratic2.pdf, un papier de 12 pages qui semble self-contained et, si on en croit l'abstract, élémentaire. Je n'ai pas eu le temps de regarder.

    Note : le résultat visé, énoncé à la première page, consiste en la détermination de la somme que j'ai notée $S_n$ dans mes posts précédents. C'est plus qu'il t'en faut car toi tu souhaites seulement attraper $S_n \overline {S_n}$.
  • Clairon
    Clairon
    Hello les amis,

    Cela me rappelle des bons souvenirs :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,656764,657155

    A l'époque, j'avais même écrit un petit programme Magma. L'exécution est en pièce jointe.


    Je ne sais pas si j'aurai le temps de m'y replonger ces jours-ci.
  • claude quitté
    claude quitté
    @Clairon
    Merci pour le pointeur. Où l'on y voit que JLT avait donné la solution de la détermination de $|S_n|^2$, suite à ta question. Mais je trouve que c'est quand même légitime de se demander d'où vient la somme $S_n$. A quoi sert-elle ? Que signifie algébrique versus analytique (que j'ai essayé d'évoquer). D'ailleurs, ton programme magma fournit le calcul algébrique de $S_n^2$ puisque dans le cas $n = 4k$, $\omega^k$ c'est $i$, le $i$ de $i^2 = -1$, le $i$ qui est compatible avec $\omega$.

    En notant $\omega = e^{2i\pi/n}$, le calcul de la somme $S_n$ (dite somme quadratique de Gauss) est traité dans Lang (Algebraic Number Theory, chap. Cyclotomic Fields, section 3 Gauss sums).
    $$
    S_n =_{\rm def} \sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k^2} = {1 + i^{-n} \over 1 + i^{-1}} \sqrt n = \cases {
    \sqrt n &si $n \equiv 1 \bmod 4$ \cr
    0 &si $n \equiv 2 \bmod 4$ \cr
    i\sqrt n &si $n \equiv 3 \bmod 4$ \cr
    (1+i)\sqrt n &si $n \equiv 0 \bmod 4$ \cr
    }
    $$
    Ici $\sqrt n$ désigne la racine carrée positive de $n$ (ce n'est plus algébrique). L'écriture intermédiaire (à la Lang) est voulue pour bien montrer l'importance du statut de $n$ modulo 4. Lang dit qu'il utilise un calcul analytique dû à Dirichlet.

    Je pense que c'est également important d'évoquer le lien avec la transformée de Fourier sur $\Z/n\Z$. Je pointe un papier célèbre (1979) au titre éloquent : IS COMPUTING WITH THE FINITE FOURIER TRANSFORM PURE OR APPLIED MATHEMATICS? De L. Auslander et R. Tolimieri avec une introduction historique de L. Auslander https://www.ams.org/journals/bull/1979-01-06/S0273-0979-1979-14686-X/S0273-0979-1979-14686-X.pdf

    Ainsi qu'une sorte de suite dans les années 1982 in https://core.ac.uk/download/pdf/82212262.pdf Hecke’s Theorem in Quadratic Reciprocity, Finite Nilpotent Groups and the Cooley-Tukey Algorithm (Auslander, Tolimieri et Winograd). On y lit que c'est Schur le premier qui aurait relié les sommes quadratiques de Gauss et la trace de la transformée de Fourier sur $\Z/n\Z$.

    De belles mathématiques où les lois de réciprocité côtoient la transformée de Fourier. Où plusieurs domaines se rejoignent : Hecke avait généralisé le théorème de réciprocité de Gauss en utilisant les formes modulaires ($\Theta$-constants), et ensuite, Milgram en a donné une preuve combinatoire ...etc... De belles mathématiques (bis).
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