Bourbaki, vraiment pour comprendre (10)

Bonjour (et bonne année) à tous,

Il s'agit de l'exercice n° 15, P. III-86 de l'ouvrage "Théorie des ensembles" de N. Bourbaki, dont vous trouverez l'énoncé en pièce jointe, qui a trait à la section du cours intitulée "calcul sur les entiers". Il comprend 2 questions et je viens vers vous car j'ai déjà des difficultés à résoudre la première : comme d'habitude, je ne veux pas la solution mais une indication pour avancer ;-).
À titre informatif, vous trouverez ci-dessous ce que j'ai déjà rédigé (je note #A pour card(A) et je "sous-note" parfois un signe entre 2 expressions pour le justifier ...) :

On considère : $ (a_i)_{(1 \leqslant i \leqslant n)} ,\ a_i \in E, \hspace{0.5cm}$ #$\mathfrak{L}=s, \hspace{0.5cm}$ #$\mathfrak{G}=t$
$(A_j)_{(1 \leqslant j \leqslant s)}\,$ avec $A_j \in \mathfrak{L} \subseteq \mathfrak{P}(E),\hspace{1cm} r_i=\#\{j \in [1,s]\mid a_i\in A_j\},$
$(B_j)_{(1 \leqslant j \leqslant t)} \,$ avec $B_j \in \mathfrak{G} \subseteq \mathfrak{P}(E), \hspace{1cm} f_i=\#\{j \in [1,t]\mid a_i\in B_j\},$

Remarque \begin{align*}
l- r_i &= \# \{k \mid a_i \in C_k \,\land \, C_k \in \mathfrak{L} \cup \mathfrak{G}\} - \#\{k \mid a_i \in A_k\, \land\, A_k \in \mathfrak{L}\} \\
&= \# \{k \mid a_i \in C_k \,\land \, C_k \in \mathfrak{L} + \mathfrak{G}\} - \#\{k \mid a_i \in A_k\, \land\, A_k \in \mathfrak{L}\} \hspace{0.2 cm}, &\text{car }\mathfrak{L} \cap \mathfrak{G} = \emptyset \\
&= \#\{k \mid a_i \in B_k \,\land\, B_k \in \mathfrak{G}\} .

\end{align*}Il s'ensuit que $f_i= l- r_i \hspace{0.5 cm} (R_1) $
a) Montrons : $ \displaystyle\sum_{i=1}^n r_i \leqslant sh$ :
$\triangleright~$On note $ \displaystyle\sum_{i=1}^s A_i$ "l'ensemble somme" des $A_i .$
$\triangleright~ \displaystyle \sum_{i=1}^n r_i \underset{(R_2)}{=} \# \Bigl \{ \sum_{j=1}^s A_j \Bigr\} = \sum_{j=1}^s \# A_j= \underset {\substack{\text{prop.14,III}-30\\ \#A_j\leqslant h}}\leqslant \sum_{j=1}^s h \underset {\text{cor.}2\text{, III-}27}{=} sh \hspace{2 cm}$CQFD

$(R_2)$ La démonstration est identique à celle de l'exercice 14, a)... : calculer le cardinal de la somme des $A_j$ revient à dénombrer dans combien de $A_j$ est contenu chaque élément $a_i$ de $E$ !

b) Montrons : $ \displaystyle\sum_{i=1}^n (l-r_i) \leqslant tk$.
Même raisonnement que ci-dessus appliqué aux éléments $B_j$ de $\mathfrak{G}$, en vertu de la remarque ($R_1$)$\hspace{1 cm}$ CQFD

c) Montrons :$ \displaystyle\sum_{i=1}^n r_i (l-r_i) \geqslant \lambda st$.
$\triangleright~$Considérons $ \displaystyle\sum_{\overset{i \in [1,s]}{j \in [1,t]}} A_i \cap B_j \,:$ l'ensemble somme des $A_i \cap B_j$
* On a $\displaystyle \#\Bigl\{ \sum_{\substack{i \in [1,s]\\j \in [1,t]}} A_i \cap B_j \Bigr\} = \#\Bigl\{ \sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} A_i \cap B_j \Bigr\}=\sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} \# \{A_i \cap B_j \}$
** En outre, un élément $a_k$ est contenu dans "$r_k$" ensembles $A_i$ et dans "$l-r_k$" ensembles $B_j$, par conséquent il est contenu dans "$(r_k) )(l-r_k)$" ensembles $A_i \cap B_j \rightarrow $ il s'ensuit qu'en reprenant la remarque $(R2)$ on en déduit : $\displaystyle\#\Bigl\{ \sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} A_i \cap B_j \Bigr\}= \sum_{i=1}^n (r_i) (l-r_i)$

$\triangleright~$De * et ** on déduit : $\displaystyle\sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} \# \{A_i \cap B_j \} = \sum_{i=1}^n (r_i) (l-r_i).$
$\triangleright~$Or, comme par hypothèse : $\# \{A_i \cap B_j \}\geqslant \lambda (= \lambda_{ij})$, il vient :

$\displaystyle\sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} \# \{A_i \cap B_j \} = \underset {\text{prop.}14 \text{, III-}31}{\geqslant} \sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} \lambda_{ij} = \sum_{k=1}^{st} \lambda_k \underset {\underset {\text{III-}27}{\text{cor.}2}}{=} st \lambda$
En conclusion, on a bien : $ \displaystyle\sum_{i=1}^n r_i (l-r_i) \geqslant \lambda st \hspace{2 cm} $CQFD

d) fin de la démonstration : LÀ, JE COINCE ...
$\triangleright~$De a) et b) on déduit : $ \displaystyle\sum_{i=1}^n r_i \times \sum_{i=1}^n (l-r_i) \leqslant sh \times tk$ , par conséquent en utilisant c), il vient : $\displaystyle\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n r_i \times \sum_{i=1}^n (l-r_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n r_i (l-r_i)} \leqslant \cfrac{shtk}{st \lambda} = \cfrac{hk}{\lambda}$
$\triangleright~$Il suffirait donc de montrer que $\displaystyle\# E \leqslant \cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n r_i \times \sum_{i=1}^n (l-r_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n r_i (l-r_i)}$ ou sous une forme équivalente (d'après ce qui précède) : $\displaystyle\# E \leqslant \cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^s \# A_i \times \sum_{j=1}^t \# B_j}{\displaystyle\sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} \# \{A_i \cap B_j \}} = \cfrac{\displaystyle\# \Bigl\{ \sum_{i=1}^s A_i \times \sum_{j=1}^t B_j \Bigr\} }{\displaystyle\# \Bigl\{\sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} \{A_i \cap B_j \} \Bigr\} } $
Une possibilité serait peut-être d'appliquer le "principe des bergers" en exhibant une surjection de $\displaystyle \sum_{i=1}^s A_i \times \sum_{j=1}^t B_j$ sur $E$ ou sur $\displaystyle\sum_{(i,j) \in [1,s] \times [1,t]} \{A_i \cap B_j \}\hspace{0.5 cm}$ ce qui démontrerait à minima l'égalité entre les $2$ expressions ... ?
Merci par avance ...

|Même polycéphale, Bourbaki prend toujours une majuscule. AD]

P.S. j'ai oublié de mentionner le fameux principe :
Soit $f$ une surjection d'un ensembles $E$ sur un ensemble $F$ telle que les ensembles $f^{-1}(y)$ pour $y \in F$ aient tous même cardinal "q", alors on a #E=q(#F)

J'en profite pour adresser mes plus plates excuses à AD pour l'omission (par étourderie ) !