$(x\in x)$ non collectivisante

Démarrelesprobas
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dans Fondements et Logique
Pour montrer cela, le cours fait la chose suivante :

En raisonnant par l'absurde, on suppose la relation $(x\in x)$ collectivisante. Alors il existe un ensemble $A$ tel que $A=\{x\mid x\notin x\}$.
1er cas : $A\in A$. Alors $A\notin A$ (ce qui est non $R$ si on désigne par $R$ la relation $A\in A$).
Le second cas est symétrique $(A\notin A$ puis $A\in A)$.
On conclut alors que c'est absurde.

J'aimerais savoir où est réellement l'absurdité. Est-ce parce que comme on se place dans la théorie des ensembles, on ne peut pas avoir à la fois une relation $R$ et son contraire (non $R$) vraies ? Car je sais qu'il a été démontré qu'il n'est pas possible de prouver que la théorie des ensembles est contradictoire (ce que prouverait la véracité simultanée de $A\in A$ et $A\notin A$).

Merci de votre aide.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ce n'est pas une histoire de relation $R$, ne vois-tu pas que les formules $A \in A$ et $A \not \in A$ se contredisent l'une et l'autre ? En clair, si ta relation est collectivisante, on peut montre que $\varphi \wedge\neg \varphi$ pour une certaine formule $\varphi$, ce qui implique tout, c'est ce qu'on appelle le faux !
  • christophe c
    christophe c
    Avant de t'aider plus et de mon téléphone je te demande d'abord un tout petit effort.

    Déduis B des deux hypothèses qui suivent.

    (E=>B)=>E

    E=>(E=>B)

    Après je te comblerai.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon me connectant peu, au lieu de te mettre des informations en blanc sur blanc, je te les mets en jaune sur blanc.

    [small]1/ Il y a une certaine forme d'ambiguité de fondement à propos de $\{x\mid phrase(x)\}$. Conseil: j'invite à voir une EGALITE et non une équivalence (ce qui ne change rien avant de faire des études de logique chirurgicales de différentiation):

    $$ (a\in \{x\mid R(x)\} ) = R(a) $$

    Il y a des tas de raison pour justifier ce conseil, mais toutes sont en dehors du sujet du fil.

    2/ Si tu supposes que $A=(A\to B)$ (j'abrège "implique" par $\to$), tu as les égalités suivantes:

    $B=$
    $(A\to A)\to B = $
    $(A\to (A\to B))\to B = $
    $(A\to B)\to B = $
    $A\to B = $
    $A\to (A\to B)=$
    $A\to A$.

    Donc $B = (A\to A)$, donc évidemment ça te prouve $B$.

    3/ A noter que le seul "axiome sensible utilisé" est $[X\to (X\to Y)] = (X\to Y)$, qui résulte de l'admis par tous que:

    $$ [X\to (X\to Y) ] = [(X\ et\ X)\to Y] = (X\to Y)$$

    mais qui est en fait le GROS et PUISSANT axiome des maths.

    4/ Il n'y a pas besoin de raisonnement par l'absurde dans ton histoire. En notant $B$ (habituellement on la note $\perp$) la phrase:
    $<<$ le monde est un paradis absolu et toutes les phrases sont vraies $>>$

    et $e$ l'ensemble des $x$ tels que $(x\in x)\to B$ et $A$ la phrase $e\in e$, tu as que:

    $$ A = (A\to B) $$

    et les arguments précédents te permettent de voir le peu d'admis utilisés pour obtenir $B$.

    5/ Je te rappelle que $non(X)$ est une abréviation de $X\to \perp$, et pour t'en convaincre (te convaincre que cette abréviation peut être utilisée les yeux fermés), il te suffit de remarquer que (intuitivement) que :

    $non(X) = $
    $non(\perp) \to non(X) = $
    $[non(non(X))] \to [non(non(\perp))] = $
    $X\to \perp$.[/small]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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