$(x\in x)$ non collectivisante
Pour montrer cela, le cours fait la chose suivante :
En raisonnant par l'absurde, on suppose la relation $(x\in x)$ collectivisante. Alors il existe un ensemble $A$ tel que $A=\{x\mid x\notin x\}$.
1er cas : $A\in A$. Alors $A\notin A$ (ce qui est non $R$ si on désigne par $R$ la relation $A\in A$).
Le second cas est symétrique $(A\notin A$ puis $A\in A)$.
On conclut alors que c'est absurde.
J'aimerais savoir où est réellement l'absurdité. Est-ce parce que comme on se place dans la théorie des ensembles, on ne peut pas avoir à la fois une relation $R$ et son contraire (non $R$) vraies ? Car je sais qu'il a été démontré qu'il n'est pas possible de prouver que la théorie des ensembles est contradictoire (ce que prouverait la véracité simultanée de $A\in A$ et $A\notin A$).
Merci de votre aide.
En raisonnant par l'absurde, on suppose la relation $(x\in x)$ collectivisante. Alors il existe un ensemble $A$ tel que $A=\{x\mid x\notin x\}$.
1er cas : $A\in A$. Alors $A\notin A$ (ce qui est non $R$ si on désigne par $R$ la relation $A\in A$).
Le second cas est symétrique $(A\notin A$ puis $A\in A)$.
On conclut alors que c'est absurde.
J'aimerais savoir où est réellement l'absurdité. Est-ce parce que comme on se place dans la théorie des ensembles, on ne peut pas avoir à la fois une relation $R$ et son contraire (non $R$) vraies ? Car je sais qu'il a été démontré qu'il n'est pas possible de prouver que la théorie des ensembles est contradictoire (ce que prouverait la véracité simultanée de $A\in A$ et $A\notin A$).
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Réponses
Déduis B des deux hypothèses qui suivent.
(E=>B)=>E
E=>(E=>B)
Après je te comblerai.
[small]1/ Il y a une certaine forme d'ambiguité de fondement à propos de $\{x\mid phrase(x)\}$. Conseil: j'invite à voir une EGALITE et non une équivalence (ce qui ne change rien avant de faire des études de logique chirurgicales de différentiation):
$$ (a\in \{x\mid R(x)\} ) = R(a) $$
Il y a des tas de raison pour justifier ce conseil, mais toutes sont en dehors du sujet du fil.
2/ Si tu supposes que $A=(A\to $ (j'abrège "implique" par $\to$), tu as les égalités suivantes:
$B=$
$(A\to A)\to B = $
$(A\to (A\to )\to B = $
$(A\to \to B = $
$A\to B = $
$A\to (A\to =$
$A\to A$.
Donc $B = (A\to A)$, donc évidemment ça te prouve $B$.
3/ A noter que le seul "axiome sensible utilisé" est $[X\to (X\to Y)] = (X\to Y)$, qui résulte de l'admis par tous que:
$$ [X\to (X\to Y) ] = [(X\ et\ X)\to Y] = (X\to Y)$$
mais qui est en fait le GROS et PUISSANT axiome des maths.
4/ Il n'y a pas besoin de raisonnement par l'absurde dans ton histoire. En notant $B$ (habituellement on la note $\perp$) la phrase:
et $e$ l'ensemble des $x$ tels que $(x\in x)\to B$ et $A$ la phrase $e\in e$, tu as que:
$$ A = (A\to $$
et les arguments précédents te permettent de voir le peu d'admis utilisés pour obtenir $B$.
5/ Je te rappelle que $non(X)$ est une abréviation de $X\to \perp$, et pour t'en convaincre (te convaincre que cette abréviation peut être utilisée les yeux fermés), il te suffit de remarquer que (intuitivement) que :
$non(X) = $
$non(\perp) \to non(X) = $
$[non(non(X))] \to [non(non(\perp))] = $
$X\to \perp$.[/small]