Absoluité de la dénombrabilité

Alesha · February 2019

En tentant de lire le livre de Kenneth Kunen sur la théorie des ensembles, je suis tombé sur ce passage, lequel m'a surpris:

"We have a countable transitive model $M$ satisfying enough set theory to produce an uncountable ordinal $\beta \in M$, but $\beta \in M$ implies that $\beta$ is countable, yielding a "contradiction". Such "paradoxes" in set theory are really just errors in thinking — here, the error is in not realizing that "countable" is not absolute."

Cela me surprend pour deux raisons:
1) Je ne vois pas en quoi l'absoluité de la dénombrabilité impliquerait que $\beta$ devrait être dénombrable pour $M$. Pour moi, l'absoluité de la dénombrabilité devrait seulement impliquer que pour tout $\delta \in M$ dénombrable pour $M$, $\delta$ est dénombrable, et on pourrait très bien avoir l'absoluité de la dénombrabilité, $\beta \in M$ (et donc dénombrable) et $\beta$ non-dénombrable pour $M$.
2) Je pensais qu'on avait l'absoluité de la dénombrabilité comme conséquence de l'absoluité de $\omega$ et de l'absoluité de la bijectivité.

Quelqu'un pour me dire où je me trompe?

Maxtimax · February 2019

1) bah... "$M\models$ machin est dénombrable" n'est pas équivalent à "machin est dénombrable", à partir de là je vois mal comment tu peux prétendre à l'absoluité de la dénombrabilité :-S

2) les deux notions que tu mentionnes sont absolues, mais ce n'est pas pour autant que la dénombrabilité (qui impose un "il existe" ) l'est : typiquement tu peux facilement forcer $\omega_1$ d'un modèle à devenir dénombrable dans un modèle juste au dessus.

"$f$ est une bijection vers $\omega$" est absolu, mais "il existe $f$ telle que ..." ne l'est pas (n'a pas de raison de l'être ! )

Alesha · February 2019

Maxtimax a écrit:

typiquement tu peux facilement forcer $\omega_1$ d'un modèle à devenir dénombrable dans un modèle juste au dessus.

J'ai moi-même écrit qu'on pourrait très bien avoir $\beta \in M$ (et donc dénombrable, car $M$ est dénombrable ici) et $\beta$ non-dénombrable pour $M$ - tu ne fais que poser $\beta = \omega_1$.
En fait, je viens de réaliser que j'avais mal compris cette définition d'absoluité. Merci!

christophe c · February 2019

Ne t'inquiète pas c'est un propos de café du commerce. Ce qu'il veut dire (et fait peut-être exprès de mal le dire) est que M $\models$ que beta n'est pas dénombrable.

La dénombrabilité est évidemment absolue pour les modèles transitifs bien fondés. Agrandir le modèle ne fait pas disparaître la surjection.

(Édit merci AD!!)

christophe c · February 2019

Oups pardon doublon ! Bon pas grave. Kikou à Max.

Maxtimax · February 2019

Christophe : coucou :-D la surjection ne disparaît naturellement pas, mais même entre modèles transitifs bien fondés elle peut apparaître me semble-t-il

Alesha · February 2019

Christophe a écrit:

La dénombrabilité est évidemment absolue pour les modèles transitifs bien fondés.

En fait, nous (Maxtimax, Christophe et moi) sommes, je crois, tous d'accord sur ce fait :
1) si $M$ voit $\beta$ dénombrable, alors $\beta$ l'est dans l'univers.
Nous sommes aussi tous, je crois, d'accord sur cet autre fait :
2) $M$ pourrait ne pas voir $\beta$ dénombrable alors que $\beta$ est dénombrable dans l'univers.
Le problème, en fait, est un problème de vocabulaire : que veut dire "absolu"? Et il semble bien que c'est Maxtimax qui a raison : la dénombrabilité n'est pas "absolue" au sens où on a 2) (alors que je croyais que ça voulait dire 1)).
Christophe, tu as peut-être une autre définition de "absolu" en tête (peut-être celle que j'avais moi-même!), mais il semble que cette définition est standard que, et dans ce cas, on ne peut pas dire que la dénombrabilité est "absolue".

christophe c · February 2019

À ma connaissance (mais je n'ai pas le monopole de la mémoire fidèle) les auteurs se doivent de redéfinir le terme à chaque fois qu'ils l'utilisent (vue l'ampleur de ce qui en dépend souvent après), mais j'ai souvenir que les set theorist l'utilisaient t toujours dans le sens croissant (truc qui persiste quand on étend l'univers).

Mais ce n'est qu'un souvenir souvenir....

christophe c · February 2019

Attention en plus il n'y a pas qu'une notion d'abosluite. Il faut préciser à quels modèles on se limite etc. Sinon y aurait pas grand chose d'absolu. Exemple : être un ordinal c'est absolu pour les modèles bien fondés. Etc.

Alesha · February 2019

Christophe a écrit:

j'ai souvenir que les set theorist l'utilisaient t toujours dans le sens croissant (truc qui persiste quand on étend l'univers)

C'est ce que je croyais aussi, mais je me trompais (au moins pour ce livre). J'utilise plusieurs livres en parallèle, il se peut que les définitions diffèrent d'un auteur à l'autre, il faudrait vérifier attentivement.

Maxtimax · February 2019

Alesha : bien vu; oui effectivement je me basais sûrement sur la notion de Kunen

christophe c · February 2019

A relire,

Kunen a écrit:

here, the error is in not realizing that "countable" is not absolute."

je dirais que c'est un erreur de frappe de sa part (Kunen) ou de la flemme**, ou de l'indifférence car c'est un préambule, peut-être à quelque chose où on précisera.

De toute façon si on ne va pas dans le sens croissant mais dans tous les sens qu'on veut, j'ai l'impression que la notion devient assez peu utile. Après je me trompe peut-être... C'est une sensation que j'ai disons.

** d'écrire "uncountable" :-D

Poirot · February 2019

Dans son dernier livre, Patrick Dehornoy définit l'absoluité pour une classe $M$ comme l'équivalence entre $M$ satisfait $\phi$ et $V$ satisfait $\phi$. Puis il donne des résultats du style "telles formules sont absolues pour les modèles transitifs".

Absoluité de la dénombrabilité

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