Notion de $ 2 $-espace vectoriel.

Est-ce que tu sais comment interpréter une théorie algébrique classique dans une catégorie ayant des produits ?

Ici, ils conseillent de lire ceci pour en savoir plus.

Les notions des liens de marsup n'ont pas l'air de correspondre à la définition que tu donnes. Mais si tu ne sais pas interpréter une théorie algébrique dans une catégorie avec produits cartésiens, il n'est peut-être pas pertinent d'étudier les $2$-espaces vectoriels

Voir par exemple ici. Par exemple, les opérations d'arité $k$ pour un entier $k$ ont un sens car on peut considérer $M^k$ pour un objet $M$ de la catégorie; et on peut exprimer les équations via des diagrammes.

Un "vector space internal to $\mathrm{Cat}$" c'est un espace vectoriel dans la catégorie des petites catégories. Pour ça il faut déjà avoir un corps de base, ce qui peut être compliqué à définir,et au vu des articles que je vois il est probable que ce soit en un autre sens; auquel cas l'expression "vector space internal to $\mathrm{Cat}$" est trompeuse et surprenante.

Plusieurs points :1- je ne maîtrise pas du tout la théorie des topos, uniquement les propriétés élémentaires des topos élémentaires (sans jeu de mots);
2- si tu as une question qui porte sur un sujet manifestement différent du fil initial, ouvre un autre fil;
3- N'avais-tu pas déjà eu une discussion avec GBZM sur précisément cette question ?