Objet initial / Objet final
Bonjour à tous,
1 - Pourquoi tout objet final d'une catégorie $ \mathcal{C} \ $ est un représentant du foncteur $ F\ : \ \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbb{Ens} \ $ défini par : $ F(X) = \{ \emptyset \} $ ?
2 - Dualement, un objet initial est-il un représentant de quel foncteur : $ F\ : \ \mathcal{C} \to \mathbb{Ens} $ ?
Merci d'avance.
Edit :
Pour la question $ 1) $, il faut établir que tout objet final $ P \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } $ vérifie : $ \forall X \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } $ : $ \mathrm{Hom} ( X , P ) = \{ \emptyset \} $. Pourquoi si $ P \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } $ est un objet final, alors $ \mathrm{Hom} ( X , P ) = \{ \emptyset \} $ ?
1 - Pourquoi tout objet final d'une catégorie $ \mathcal{C} \ $ est un représentant du foncteur $ F\ : \ \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbb{Ens} \ $ défini par : $ F(X) = \{ \emptyset \} $ ?
2 - Dualement, un objet initial est-il un représentant de quel foncteur : $ F\ : \ \mathcal{C} \to \mathbb{Ens} $ ?
Merci d'avance.
Edit :
Pour la question $ 1) $, il faut établir que tout objet final $ P \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } $ vérifie : $ \forall X \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } $ : $ \mathrm{Hom} ( X , P ) = \{ \emptyset \} $. Pourquoi si $ P \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } $ est un objet final, alors $ \mathrm{Hom} ( X , P ) = \{ \emptyset \} $ ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Un objet final $ P \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } $ est un objet pour lequel $ \forall X \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } \ \ \exists ! \emptyset \ : \ X \to P $.
Par conséquent : $ \forall X \in \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } \ : \ \mathrm{Hom} ( X , P ) = \{ \emptyset \} $, non ?.
Pour la question $ 2 $, si $ Q $ est un objet initial, alors : $ \forall X \in \mathcal{C} \ : \ \mathrm{Hom} ( Q , X ) = \{ \emptyset \} $.