Incomplétude et modèles

En fait c'est une illusion la complétude de deuxième ordre. Elle n'est pas accessible. D'ailleurs attention de ne pas confondre la syntaxe et la sémantique qui elle est inaccessible.

Les règles de preuves du deuxième ordre n'ont rien à voir avec le fait que "tout modèle plein vérifié truc"

Homonymement il n'y a pas ... complétude. Ce n'est pas parce qu'un truc est vrai dans tous les modèles pleins que le système de preuves appelé LUI AUSSI logique du deuxième ordre peut le prouver. C'est juste une homonymie.

Oui je peux, j'ai pris un aspirine et je respire mieux :-D (pardon pour le gloubiboulga d'avant)

1/ Tu as les platoniciens et les non platoniciens.

2/ Dans le passé j'adorai faire hurler Gérard en disant que tout le monde est platonicien

3/ En caricaturant à peine, il n'y a pas de "logique du second ordre"

4/ Il y a un BIG-FANTASME second-ordien qui "appelle de ses voeux" le père Noel (ou Dieu) pour connaitre la valeur de vérité de phrases comme "pour tout partie $X$ de $\N$, blabla"

5/ A côté de ça et n'ayant pas grand-chose à voir, il y a des gens qui jouent à la poupée en ayant implémenté SYNTAXIQUEMENT un succédané de déductions second-ordre-formes, ce succédané étant d'ailleurs très simple et s'appelant chez les gens sérieux.... je te le donne en 1000.... l'axiome de compréhension:

$$ [ \forall X:R(X) ]\to S$$

où $S$ s'obtient en remplaçant, partout où apparait un truc de la forme $X(toto)$, une même formule de la forme $T(Toto)$

6/ De manière purement homonymique, ce fantasme formel a été "aussi" appelé "faire de la logique du second ordre".

7/ Mais il ne permet de démontrer que très peu de choses PARMI celles qui sont "vraies dans tous les modèles pleins", sachant qu'en plus ces histoires n'ont un sens que pour les platoniciens qui espèrent parler de ce qui se passe dans le monde des vrais ensembles.

8/ "modèle plein $(E,...)$ " veut juste dire que la valeur de la phrase $\forall X: blabla$ se calcule en essayant... toutes les parties $X$ de $E$, donc .... en particulier.... en en essayant un nombre NON DENOMBRABLE quand $E$ n'est pas fini, ce qui, tu en conviendras, n'est pas encore accessible à l'être humain en dur :-D

9/ Concrêtement, l'entier qui est une contradiction dans ZF apparait dans tout plein de "modèles syntaxiques" de la "logique du second ordre programmée chez IBM au sens de (6)", mais évidemment pas aux modèles pleins (fantasmés), sauf si $ZF$ est "réellement" (ha ha que veut dire réel) contraidctoire.

Eh bien si tu as une démonstration du faux, elle est finie, donc n'utilise qu'un nombre fini de constantes $c_n$. Mais maintenant, la théorie des bons ordres plus un nombre fini d'inégalités strictes a un modèle ($\N$ en interprétant bien les $c_i$ si tu veux), donc elle ne peut pas prouver le faux. Donc il n'y a pas de démonstration du faux, pour autant t'as pas de modèle.

Mauricio a écrit:

Supposons que j'aie un énoncé Peano contradictoire que je note P et que je prenne deux modèles au sens de la théorie des ensembles X,Y. Dans l'un des deux P est vrai et dans l'autre il est faux..

Un énoncé Peano contradictoire, c'est un énoncé contredisant les axiomes de Peano? Par exemple, $0 = 1$? Pourquoi supposer alors qu'il peut exister un modèle dans lequel P sera satisfait?

Je n'ai pas compris ta question, en fait.

@Mauricio, pardon pour le délai. Mais non, ce n'est pas ça que j'ai voulu te dire.

Je recommence:

1/ Tu as deux théories du second ordre.

1.1/ La première est constituée de l'ensemble $A$ des énoncés qui sont vrais dans tous les modèles pleins.

1.2/ La deuxième est constituée de l'ensemble $B$ des théorèmes qu'on peut prouver en ajoutant quelques axiomes "typiques" qui ambitionnent de "simuler un peu" ce qu'on attendrait de la première.

[small]En l'occurrence l'axiome dit de compréhension qui dit :
$$ [\forall XR(X)]\to [R(<<x\mapsto S(x)>>]$$
où $S$ est un énoncé "faisant office" de propriété, donc de "sous-ensemble" de l'ensemble base de la structure (mais peu importe en fait)[/small]

2/ En dehors du fait que $B\subset A$, on n'a rien de plus. En fait, même, $B$ est NEGLIGEABLE dans $A$.

3/ De plus, aucun être humain ne peut accéder à $A$. Même pas via ZF ou autre théorie plus forte***. L'ensemble $B$ nous est à jamais fortement et absolument inaccessible, quoiqu'on fasse.

4/ La syntaxe qui définit qui définit $B$ dans le point (1.2) n'a rien de "trop complexe" pour reprendre tes mots.

*** Exemple: tu as dans un univers ZFien, PLEIN (donc, pour les platoniciens "un vrai", qui n'oublie rien), où tu constates qu'il n'existe par exemple pas d'ensemble inaccessible (attention à l'homonymie!!! ) vérifiant un certain énoncé $P$. Et bien ça ne signifie rien !!!!!

En particulier, ça ne signifie PAS que $P$ n'a pas de modèle inaccessible. La seule chose que ça dit c'est que ton univers est TROP BAS (il ne contient pas assez d'ordinaux) pour "voir $P$". C'est tout. Ce n'est même plus une question de LARGEUR (qui elle est assez bien appréhendée par le forcing), mais une question de hauteur (dont il est un théorème absolu qu'on ne peut "par définition" pas la dompter).

M a écrit:

En revanche, comme tous les modèles des entiers au deuxième ordre sont les mêmes

C'est là qu'est ton erreur. Tu as raison pour ce qui concerne la théorie sémantique du second ordre, celle que personne ne peut voir.

Mais je te le redis, il y a un homonyme syntaxique qui décrit un système déductif*** qui singe le second ordre, mais qui ne contient qu'un nombre infime d'énoncés vrais dans tous les "vrais modèles pleins" du second ordre.

*** Par exemple, ce système est parfaitement équivalent (voire égal), pour ce qui concerne l'arithmétique, à travailler dans le fragment suivant de ZF:

tous les axiomes sauf le remplacement et l'ensemble des parties (autrement dit pas grand chose :-D ) à quoi tu ajoutes qu'il existe au moins un ensemble infini dont l'ensemble des parties existe (et évidemment, ce sera $\N$ sans admis supplémentaire)