Axiome de compréhension
Salut
Dans le cours que je lis, cet axiome est énoncé comme ceci :
Si $X$ est un ensemble, $R$ une relation et $x$ une lettre n'apparaissant pas dans $X$, alors la relation $(x\in X$ et $R)$ est collectivisante en $x$.
1) Je ne suis pas sûr de parfaitement comprendre ce que signifie (*) : "$x$ une lettre n'apparaissant pas dans $X$". On dit ça comme ça pour être plus large que "$x\notin X$" ? Par exemple, $1$ apparaît dans $\{\{1,2\},3\}$ mais $1\notin \{\{1,2\},3\}$.
2) A quoi cela sert-il de mettre (*) dans l'axiome de compréhension ?
3) Pourquoi est-ce qu'on dit que $x$ est "une lettre" dans (*) ? Tout est ensemble non ?
Dans le cours que je lis, cet axiome est énoncé comme ceci :
Si $X$ est un ensemble, $R$ une relation et $x$ une lettre n'apparaissant pas dans $X$, alors la relation $(x\in X$ et $R)$ est collectivisante en $x$.
1) Je ne suis pas sûr de parfaitement comprendre ce que signifie (*) : "$x$ une lettre n'apparaissant pas dans $X$". On dit ça comme ça pour être plus large que "$x\notin X$" ? Par exemple, $1$ apparaît dans $\{\{1,2\},3\}$ mais $1\notin \{\{1,2\},3\}$.
2) A quoi cela sert-il de mettre (*) dans l'axiome de compréhension ?
3) Pourquoi est-ce qu'on dit que $x$ est "une lettre" dans (*) ? Tout est ensemble non ?
Réponses
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Alors c'est une façon de parler très Bourbaki tout ça, n'ayant pas lu Bourbaki (et ne comptant pas le faire, en tout cas pas leur manuel de théorie des ensembles) je ne peux pas répondre en toute précision; mais l'idée est que "$X$ ne doit pas dépendre de $x$". Par exemple si $X= \mathcal{P}(x)$, tu n'as pas envie de pouvoir considérer "l'ensemble des $x$ tels que $x\in \mathcal{P}(x)$ et $x\notin x$", parce qu'on tombe sur le problème classique. La condition " la lettre $x$ n'apparaît pas dans $X$" est là pour empêcher ce genre de problèmes, et a priori cette formulation aura été définie auparavant dans ton cours
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Soyons cash, c'est nawak, tu as raison de ne pas parfaitement comprendre et je te conseille même de progresser en parfaitement non-comprenant. Paris n'est pas un mot de 5 lettres.
L'axiome de compréhension dit juste que
$$\forall a\exists b\forall x:[(x\in b)\iff ((x\in a)\ et\ (R(x)))]$$
et l'extensionnalité entrainant l'unicité du $b$, ce $b$ est noté :
$$\{x\in a\mid R(x)\}$$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci.
Il s'agit en fait du livre de Claude Wagschal Topologie et analyse fonctionnelle et au début il parle un peu de ZF(C).
Que conseillez-vous (en livre ou pdf bien fait sur Internet) en théorie des ensembles ? -
Tout dépend où tu veux aller en TDE.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Le récent livre de Patrick Dehornoy est accessible et permet de se faire une première idée des enjeux et des techniques employées en théorie des ensembles. Si tu veux de la lecture avancée, je ne suis pas qualifié pour t'en conseiller.
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