Équivalence de théorèmes

Bonjour.

Dans une théorie donnée, deux théorèmes peuvent parfaitement être équivalents. Ce qui n'a rien à voir avec le fait de les utiliser directement ou les redémontrer.

Cordialement.

Tu as parfaitement raison; les théorèmes sont tous équivalents les uns aux autres logiquement, puisqu'ils se démontrent à partir des axiomes, et ta justification est tout à fait correcte ("je suppose l'un, bon maintenant je m'en fiche et je fais la preuve de l'autre").

Pour autant, la phrase de wikipedia n'est pas dénuée de sens, et il y a plusieurs sens que "ces deux théorèmes sont équivalents" peut prendre, je vais en décrire 2, et te dire duquel il est, je pense, ici question :

1- Le sens technique. Deux théorèmes prouvés à partir d'axiomes $T$ sont forcément équivalents comme on l'a déjà vu. Maintenant, imaginons que j'enlève des axiomes de $T$, pour obtenir $T'$. Il se peut que tes théorèmes ne puissent plus se prouver dans $T'$, mais que leur équivalence puisse, elle, toujours y être prouvée. Un exemple bien connu est l'axiome du choix et le lemme de Zorn par exemple; ou encore différents principes équivalents au postulat des parallèles d'Euclide pour un exemple plus géométrique. En ce sens, on peut parler de théorèmes équivalents, et si $T,T'$ ne sont pas précisées, c'est qu'elles sont supposées être claires dans le contexte (par exemple si je dis "L'axiome du choix et le lemme de Zorn sont équivalents", on se doute que je n'énonce pas une trivialité de ZFC, mais un théorème un peu intéressant de ZF).
Une partie importante de la logique, et de la théorie des preuves consiste à étudier ces relations entre des théorèmes bien connus, mais dans des théories plus faibles (par exemple, le lemme de Zorn n'est plus si clairement équivalent à l'axiome du choix dans la théorie Z - d'ailleurs je ne sais plus s'il l'est ou pas)

2- Le sens pas technique. C'est un sens pédagogique ici : quand on étudie des maths, on a beaucoup de résultats de base qu'on utilise pour prouver des théorèmes plus gros. La plupart des résultats vus en cours se démontrent en 5minutes, tout au plus 10minutes - mais certains gros théorèmes prennent plus de temps, 30min, voire une heure, voire s'étalent sur plusieurs cours. Parfois il s'avère qu'on a plusieurs tels gros théorèmes, disons $T_1$ et $T_2$, mais que bien que la preuve de chacun des deux individuellement soit compliquée, il est facile de conclure $T_2$ à partir de nos résultats de base et de $T_1$; on dit en général que $T_2$ est un corollaire de $T_1$; quand on remarque que si on avait prouvé $T_2$ on pourrait aussi aisément en déduire $T_1$ (à partir de nos résultats de base) on a tendance à se dire que notre grosse preuve de quelques heures aurait aussi bien pu être faite pour $T_2$, en un sens on se dit que c'est arbitraire de prouver $T_1$ puis d'en déduire $T_2$ ou de faire l'inverse, que ça dépend des goûts de la personne qui prouve. Dans ces cas-là on aura tendance à dire que $T_1$ et $T_2$ sont équivalents : ce n'est pas faire un énoncé technique à propos de théories plus faibles, mais simplement un énoncé pédagogique qui nous dit que l'un n'est pas "plus compliqué" que l'autre.
ça veut aussi dire qu'on peut en retenir un, et qu'on se souviendra automatiquement de l'autre. Un autre sens que ce "sens pas technique" peut revêtir (mais c'est très similaire) c'est de dire que $T_1$ et $T_2$ sont des théorèmes qui sont si proches l'un de l'autre, qu'ils se déduisent si facilement l'un de l'autre, qu'on a envie de dire que "moralement ils disent la même chose" (le fameux usage de "moralement" dans la communauté mathématique :-D ). Cela peut être intéressant de le voir comme ça, parce que ça permet des pirouettes intéressantes qui rejoignent le sens technique: par exemple si on est intéressé par la logique intuitionniste, on se rend vite compte que plein plein de théorèmes classiques ne peuvent s'y démontrer; mais que beaucoup de ces théorèmes classiques, si on les reformule légèrement (en un théorème "équivalent") peuvent alors se démontrer intuitionnistement. Naturellement dans ce genre de cas, la preuve de l'équivalence n'est pas intuitionniste (sinon le théorème initial serait prouvable :-D ), mais on considère qu'on a quand même gagné parce que les deux théorèmes disent "moralement" la même chose. Là on est à la frontière entre les deux sens, même s'il est difficile de rendre rigoureuse cette idée que les deux théorèmes veulent dire la même chose, il faut juste se mettre d'accord.

Bref je pense que dans ton article wikipedia c'est le sens 2 qui est utilisé, c'est-à-dire qu'un.e étudiant.e avec quasiment aucun bagage de calcul différentiel, qui admet l'un de ces deux théorèmes, peut prouver l'autre sans trop de difficulté. Naturellement il est possible qu'il existe une théorie $T$ plus faible que ZFC qui ne prouve aucun de ces théorèmes, mais prouve leur équivalence; mais je doute que ce soit ce que l'article prétend. D'ailleurs à ce stade là, comme chacun des théorèmes est un énoncé très compliqué (en termes de complexité des formules), avec plein de définitions préalables etc. il pourrait être très difficile de voir ce qu'ils veulent dire dans une théorie plus faible que ZF.



(d'ailleurs, les implications de ta question ont mené lieu à une anecdote très amusante à propos de l'axiome du choix, on raconte qu'un mathématicien -il y a 3 protagonistes, mais je ne sais plus du tout qui ils sont - a envoyé un papier à un autre, plus reconnu que lui, prouvant que l'axiome du choix était équivalent au théorème de Zermelo, et cet autre mathématicien lui aurait répondu "Bien sûr qu'ils sont équivalents, les deux sont vrais", et aurait donc refusé de publier sa preuve; puis il l'a envoyé à un autre, aussi plus reconnu que lui, qui aurait répondu "bien sûr qu'ils sont équivalents, les deux sont faux")

1/ Le mot "théorème de la théorie T" abrège "énoncé que T peut prouver".

2/ "théorème" (tout court) ne veut pas dire grand-chose

3/ le mot équivalent se met entre deux énoncés et donne un énoncé.

4/ Des théorèmes (ce sont des énoncés, point barre) d'une théorie T sont équivalents dans cette même théorie (en logique classique et intuitionniste: qui autorisent toutes deux le jetage d'hypothèse), car tous deux équivalents à l'énoncé "vrai". Rien n'oblige ces énoncés à être équivalents dans une autre théorie

5/ L'usage dans les bars, les salons, les livres, etc, quand des disent, en parlant de 2 théorèmes, qu'ils sont "équivalents" est, me semble-t-il, dans 99% des cas pour dire que leur équivalence est triviale. Autrement dit, il ne fait pas de doute qu'ils soient équivalents (en tant qu'énoncés étant tous deux des théorèmes), mais le fait de balancer un verre à la main "ouais, Jo, mais ça c'est équivalent au théorème de Jordan" est une façon de dire "ouais, Jo, mais ça c'est trivialement équivalent au théorème de Jordan"

De mon téléphone: max t'a dit essentiellement la même chose avant mon post mais dit par deux personnes c'est encore mieux pour les visiteurs occasionnels et pis :-D pour une fois que je suis concis je suis fier lol. Max je te conseille de sauter des lignes à moins que tu n'aies pas pu pour raison materielle (téléphone ou autre). J'ai l'impression (toute subjective et peut être due à mon âge) que l'absence de sauts de lignes peut décourager. ;-)