Catégories

Bonjour,

Tu n'as pas assez d'axiomes, apparemment. Voir ici et là.

Mais est-ce que ça a un intérêt de donner une telle définition ?

GG a écrit:

sans doute pour promouvoir le slogan que le théorie des catégories est la théorie abstraite des fonctions et que "tout est fonction"

Je ne sais pas si les catégoriciens seraient très enthousiastes dans la mesure où les catégories ont, entre autre, l'ambition de représenter par les flèches le plus possible de choses que seulement les fonctions.

Par ailleurs, la TDE dit déjà que tout est fonction et la théorie "officielle" des fonctions, peu médiatisée, n'a rien à voir avec les catégories et est la même que ZF à epsilon près sur 2 ou 3 notations mot à mot. Je rappelle aussi qu''ensembles = fonctions.

On en parle peu parce que les gens aiment bien avoir des phrases (au sens où ils privilégient un type, le type phrase, pour valoir suites de caractères achevée dans leurs articles, donc utilisent ZF (où les fonctions à valeurs dans $\{faux; vrai\}$ jouent un rôle CONVENTIONNEL particulier) plutôt que des valeurs dont il faudrait chaque fois préciser le type.

(Et de toute façon, en précisant le type, tu feras une phrase, donc on retombera toujours sur ce type privilégié, sauf qu'on l'aura évacué en statut méta, ce qui est idiot, puisque par définition, une cloture réussie est une cloture sans méta)

La différence DE FOND qui intéressent les gens, j'en ai déjà parlé (et je précise qu'ils n'en sont pas forcément conscients, j'ai dû les psychanalyser :-D , donc leur demander n'est pas l'idéal, vaut mieux faire confiance à mes pouvoir télépathiques :-D ) c'est la (à mon sens très importante) question:

[large] [/large]

(sous-entendu pour y inclure toutes la science).

L'opérateur d'application d'une fonction à son argument (je rappelle qu'il s'agit de $\ni$, ce n'est pas assez connu non plus) n'est hélas pas associatif: $f(g)(h)\neq f(g(h))$ en général

L'opérateur de composition, lui, l'est: $(f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$

D'où le projet légitime de réécrie les maths associativement dans un cadre où le signe premier est associatif (ie une sorte de remplacement de $\ni$ par $\circ$). Mais hélas, le problème est actuellement ouvert (si on veut les choses bien et sans l'usine à gaz des typages). Il y a des solutions partielles, mais elles appellent en renfort d'autres signes, dont certains problématiques, comme $\{x\}\mapsto x$ ou comme $K$, qui permettent de faire disparaitre $\ni$ au profit de $\circ$, mais en payant $K$, via:

$$ K(u(v)) = u\circ (K(v))$$

dont le membre de droite n'utilise pas $\ni$ (Rappel: $f(g) = f\ni g$)

Par contre, il est vrai (et évident) que la théorie des catégories est celles des monoides associatifs généralisés à une situation particulière où la CI est partielle mais a certaines propriétés, mais, le mieux, si tu veux t'amuser est que tu fasses la traduction toi-même plutôt qu'aller la chercher dans un livre. Elle ne nécessite aucune inspiration

De mon téléphone j'ai oublié de préciser que K(x)(y) = x pour tous x,y.