ZFC et NBG

Martial
Martial
dans Fondements et Logique
Bonsoir à tous,
Je sais que NBG est une extension conservative de ZFC, au sens où, tant qu'on ne parle que d'ensembles, elle démontre les mêmes théorèmes que ZFC.
Mais par ailleurs, NBG contient l'axiome de limitation (limitation of size) qui dit qu'une classe est propre ssi elle est en bijection avec l'univers.
Perso je trouve cet axiome scotchant, car non seulement il fournit gratuitement AC et le schéma de remplacement, mais en plus il va dans le sens des idées de Cantor : ce qu'il appelait les pluralités inconsistantes, et que de nos jours nous appelons des classes propres, étaient des collections tellement grosses que le fait de leur donner le statut d'ensemble conduisait à des contradictions. L'axiome de limitation dit donc ni plus ni moins que toutes les pluralités inconsistantes ont la même taille.
Voici ma question : l'axiome de limitation étant a fortiori un théorème de NBG, il n'est pas un théorème de ZFC, ce qui n'a rien de choquant puisqu'il parle de classes, chose que ZFC n'est pas habilitée à faire.
Donc, cela signifie qu'il existe des modèles de ZFC qui ne vérifient pas cet axiome.
Quelqu'un peut-il me donner un exemple simple de modèle de ZFC dans lequel il existe 2 classes propres qui ne sont pas "équipotentes" ?
(Bien sûr, en supposant que ZFC est consistante et tout le tintouin).
Merci d'avance.
Martial

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Bin non ton "donc" n'est pas correct. Intuitivement en présence de AC Tu "bijectes" les ordinaux avec l'univers entier et donc avec toute classe propre.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Souviens-toi de la preuve de la conservativité de NBG au-dessus de ZFC : chaque modèle de ZFC fournit un modèle de NBG en prenant juste les parties. Donc tout modèle de ZFC "vérifie" ledit théorème
  • Martial
    Martial
    Merci à tous deux pour vos réponses.
    Hélas je ne suis toujours pas convaincu.
    Si ce que vous dîtes est juste, cela implique que AC est équivalent à "il existe un bon ordre sur l'univers", ce qu'on appelle aussi le principe du choix, ou axiome du choix global.
    (L'univers héritant alors du bon ordre sur ON via la bijection entre ON et V).
    Et j'ai lu un peu partout que l'axiome du choix global est strictement plus fort que AC. Il est vrai si V=L, mais pas forcément dans le cas contraire.
    Il y a donc un problème...
  • Martial
    Martial
    P.S. Je suis d'accord que si AC est vrai, alors tous les $V_{\alpha}$ peuvent être bien ordonnés, mais a priori il n'y a aucune raison pour qu'on puisse "recoller les morceaux".
  • christophe c
    christophe c
    En fait, ça n'a rien à voir avec eux.

    Fondamentalement la question n'a pas de sens. MAIS: si tu veux lui donner un sens, ie si tu veux comparer le "cardinal de l'univers" et "ON" (la classe de ordinaux), tu es "obligé", avec AC de "reconnaitre" qu'ils sont égaux, disons.

    Cela résulte de ce que tu ne peux pas injecter les ordinaux dans un $V_{\alpha}$. Donc tu peux appliquer la procédure intuitive suivante pour chaque ordinal $z$ à qui tu es en cours d’associer un élément $u(z)$, ayant déjà construit les $u(y), y<z$ qui forment $d(z):=\{u(y)\mid y<z\}$

    1/ Prendre le plus petit $\alpha$ tel que $non(V_\alpha \subseteq D(z))$
    2/ Choisir $u(z)$ dans ce $V_\alpha$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Christophe je crois que j'ai compris ta construction.
    Mais qu'est-ce qui te garantit que ton "application" u ainsi obtenue va être "surjective" de ON dans V ?
    (Comme ça à vue de nez il me semble qu'il reste beaucoup de place dans V)
  • christophe c
    christophe c
    Parce que sinon le plus petit alpha évoqué va rester borner injectant les ordinaux dans un V alpha.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Oui ça y est, je crois que j'ai compris : si $u$ n'est pas surjective, il existe un ensemble $x$ qui n'est jamais atteint par $u$.
    Soit $\alpha$ le plus petit ordinal tel que $x \in V_{\alpha}$.Cela signifie qu'à chaque étape de la construction le plus petit $\beta$ tel que $V_{\beta}$ n'est pas inclus dans $d(z)$ est inférieur ou égal à $\alpha$, sinon on aurait fini un jour ou l'autre par remplir $V_{\alpha}$, donc par choisir $x$.
    Moralité : $d(ON)$ est inclus dans $V_{\alpha}$, ce qui est absurde.
    C'est bien ça ?
  • Martial
    Martial
    En admettant que mon analyse est bonne, poursuivons le raisonnement : soit maintenant $C$ une classe propre quelconque. Elle hérite du bon ordre de $V$.
    Le "type d'ordre" de $C$ est forcément inférieur ou égal à celui de $V$ puisque $C$ est incluse dans $V$.
    Et comme ce "type d'ordre" ne peut pas être un ordinal à cause du schéma de remplacement, c'est donc qu'il est égal à $ON$, d'où $C$ est en bijection avec $ON$, donc aussi avec $V$.
    Moralité : si j'ai bien tout compris, ZFC démontre "moralement" l'axiome de limitation, mais elle ne peut pas écrire la preuve car elle n'a pas le droit de parler de classes propres.
    Ch'est cha ?
  • christophe c
    christophe c
    Bravo!!;-)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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