Notation pour l'ensemble vide (rudimentaire)

$\emptyset$ : je n'ai jamais vu de livre/article moderne où $\{ \}$ est utilisée (ce n'est pas à dire qu'il n'en existe pas, il y a beaucoup de livres et articles que je n'ai pas lus :-D ). A écrire à la main, $\{ \}$ est bien plus pénible (déjà que les accolades c'est pas facile); et il est plus facile de mal comprendre $\{\}$ que $\emptyset$ (notamment dans un contexte où il y a beaucoup d'accolades)

Je ne comprends pas ta deuxième question. $\emptyset$ est défini par $\forall x, \neg (x\in\emptyset)$. Si tu veux, c'est le seul ensemble dont tous les éléments ont toutes les propriétés : $\forall x, x\in\emptyset \implies P(x)$, quelle que soit $P$.

Pour ta deuxième question, la propriété la plus importante d'un ensemble vide (les axiomes de la théorie des ensembles la plus connue entraînent l'unicité d'un tel ensemble mais c'est anecdotique ici) est que pour toute propriété $\bf P$ et tout élément dudit ensemble, cet élément vérifie forcément $\bf P$ (sinon il existe $x_0$ dans $V$ tel que $\neg \mathbf P (x_0)$ ce qui est impossible).

Et puis $\{\}$ se marie assez mal avec l'écriture polonaise.
@GG to message me fait réaliser que les ordinaux sont un peu l'anti-base 2 (2^n symboles hors-parenthèses sont utilisés pour écrire n).

De mon téléphone descente d'avion: j'ai le souvenir d'une élève qui ne sachant pas comment le noter (j'ai oublié de l'enseigner cette fois la) à utilisé naturellement {} pour signaler un ensemble vide de solutions.