Axiome du choix

Une des réponses du lien fournit aussi une preuve intra ZF :-D
Et il y a un peu plus de travail pour montrer que ton rationnel en question a une image proche de celle de $x$ et de celle de $w$ (mais essentiellement oui c'est ce qui se passe)

$\newcommand \tendvers[1]{\underset{#1 \to \infty} {\longrightarrow}}$
Soit $(X,d)$ un espace métrique séparable, $(Y,d')$ un espace métrique, $f:X\to Y$ telle que pour toute suite convergente $(x_n)_{n \in \N}$ de $X$, $\left ( f(x_n)\right )_{n \in \N}$ est une suite convergente de $Y$. On montre ci-dessous la continuité de $f$ sans recours à l'axiome du choix.

Dans la suite on considère une partie dénombrable dense $D:=\{\delta_n \mid n\in \N\}$ de $X$.

1°) $f$ est séquentiellement continue. En effet soit $a\in X$ et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite de $X$ convergeant vers $a$. Alors en posant $y_{2n}:=x_n$ et $y_{2n+1}:=a$, on a encore une suite convergente. Donc par hypothèse il existe $\ell \in Y$ tel que $f(y_n) \tendvers n \ell$. En particulier (vu que $f(a)=f(y_{2q+1})$ pour tout $q$) $f(a) \tendvers n \ell$ donc (séparation) $f(a)=\ell$ et $f(x_n) =f(y_{2n}) \tendvers n f(a)=\ell$.

2°) Tout $x\in X$ est limite d'une suite d'éléments de $D$.
Soit $x \in X$. Pour tout $k\in \N$, on pose $m(k):= \min \{p \in \N \mid d(x,\delta_p) \leq 2^{-k}\}$. Alors $k \mapsto \delta_{m(k)}$ est la suite cherchée.

3°) Montrons enfin que $f$ est continue. Soit $x\in X$. Supposons par l'absurde qu'il existe $r>0$ tel que pour tout $n\in \N$, il existe $y\in B(x,2^{-n})$ tel que $d'\big(f(y),f(x) \big) > r$ (*).

Alors pour tout entier $n\in \N$, il existe également un entier $i\in \N$ tel que $\delta_i\in B(x,2^{-n})$ et $d\big(f(\delta_i), f(x)\big)> r$ (**). En effet, fixons $n\in \N$ et prenons $y$ comme dans (*). Alors d'après 2°), il existe $m:\N \to \N$ telle que $\delta_{m(p)} \tendvers p y$. D'après 1°), $f(\delta_{m(p)}) \tendvers p f(y)$ Donc il existe $N_1\in \N$ tel que pour tout $q\geq N_1$, $d' \big (f(\delta_{m(q)}), f(x) \big )>r$. D'autre part comme $B(x,2^{-n})$ est ouvert, on a $N_2\in \N$ tel que pour tout $j\geq N_2$, $\delta_{m(j)} \in B(x,2^{-n})$. Donc par construction, si on pose $i:=\max(N_1,N_2)$, (**) est satisfait.

Conclusion:
Pour tout entier $n$, l'ensemble des $i \in \N$ tels que -cf (**) - $\delta_i\in B(x,2^{-n})$ et $d\big(f(\delta_i), f(x)\big)> r$ est non vide, on désigne par $\mu(n)$ son plus petit élément.
Alors par construction $\delta_{\mu(n)} \tendvers n x$ et $d' \big ( f \left ( \delta_{\mu(n)}\right ), f(x)\big ) >r$ pour tout $n$, ce qui entraîne une contradiction avec 1°).

CQFD.

Foys : oui j'étais surpris la première fois aussi. C'est très intéressant que passer au global supprime le besoin d'AC

@Krokop : je ne sais pas trop à quoi se réfère ta question mais la preuve de Foys se fait dans ZF. Et la preuve de "continuité séquentielle en un point implique continuité en ce point" (pour des métriques) se fait avec l'axiome du choix dénombrable (dans le lien que j'ai fourni, on nous dit que pour $\R$, c'est équivalent à l'axiome du choix dénombrable pour les parties de $\R$)

J'avoue ne pas saisir le lien avec le coup de la logique linéaire.

[size=x-small]Quand même les énoncés de maths ne sont pas des billets de banque... Même si ce n'est pas parce que je peux me payer un nouveau portable avec 200 euros que je pourrai acheter le même avec 100 euros, les faits mathématiques sont des vérités éternelles fournies gratuitement par la nature et sans effort. Pour certains systèmes de preuve oui ça peut être un problème, mais c'est parce qu'on veut écrire sans coupure aussi[/size].

Ok!!

Pardon du décalage temporel, je suis totalement indispo quasiment, je ne reviens que maintenant. Juste pour dire (aux gens non experts) que l'énoncé dont on parle est prouvable sans AC (sans le moindre AC) pour tout espace métrique avec un dense bien ordonné (le côté "dénombrable" du dense est inutile).

Je suis vraiment subjugué par le résultat que AC est équivalent au fait que pour deux ensembles l'un s'injecte forcément dans l'autre...

Si on se restreint à l'axiome du choix dépendant ou à l'axiome du choix dénombrable, a-t-on des énoncés qui ressemblent où on se restreindrait à certains types d'ensembles ?

J'y ai un peu pensé, mais je n'ai rien trouvé d'esthétique. L'axiome du choix dépendant est de toute façon une charnière puisque c'est lui qui relie les arbres bien fondés aux ordinaux.

Je te signale un théorème presque triviale, mais intéressant esthétiquement, mais dont on ne peut pas, vu la facilité qu'il a à être prouvé, faire grand-chose sans effort.

Théorème: soit $T$ la théorie écrite sur le langage $\in, \phi,\sigma$ suivante: on prend tous les axiomes de ZF (appliqués à tous les signes) et on ajoute que $\forall x,y: [y\in \phi(x)\to \sigma(x)\in \phi(x)]$ et l'axiome qui dit que $\phi$ est surjective. Autrement dit, on est face à un "axiome du choix très fort, mais non extensionnel.

Alors $T$ est conservative au dessus de ZF + ChoixDep.

(cela signifie qu'aucun théorème écrit juste avec $\in$ est un théorème de $T$ sans être un théorème de $ZF+ChoixDep)

Autrement dit, sans l'extensionnalité, l'axiome du choix n'ajoute quasiment rien, en dehors de l'axiome du choix dépendant.

Parce que le fait que $\phi(x)=\phi(y)$ ne garantit en rien que $\sigma(x)=\sigma(y)$.

Voir l'article https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_comparabilité_cardinale] n'hésitez pas à aller l'améliorer !

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