Grands cardinaux

Je passerai en détail sur ton œuvre et t'aiderai à la boucler. D'autant que les GC méritent des commentaires de type "romantique" car aucun lecteur ne peut de toute les "maîtriser" vu la spécialisation PLATONICIENNE engagée dans l'expertise à leur propos.

En tout cas Martial, un grand merci car tes écrits sont un régal.

Et vivement le bouquin bien sûr !

Aldo

Il ne s'agit pas de savoir MAIS DE CROIRE pour ces habitants. Je veux dire l'argument est tel quel et vaut pour tout R(x) . Donc oui pour certains R ce n'est très folichon mais pour d'autres....

De toute façon, c'était juste une illustration des "sens" que permettent d'acquérir ces axiomes. Si "une bonne" $R$ était vraiment trouvée dans l'exemple que je t'ai donné, les cardinaux mesurables deviendraient contradictoires.

Simplement, c'est pour te montrer qu'en 2 lignes on accède à des pensées qui n'étaient pas formalisables.

Prends la notion "$R(x):=<<x$devrait être mesurable si notre univers contenait tous les objets possibles$>>$

Supposons qu'elle soit définissable "et marche".

Et bien le fait de marcher veut dire que $M\models \exists x<j(k) : R(x)$ (autrement dit, on lui demande de "sentir la possibilité de $V$".

Donc (pure déduction), $V\models \exists x<k : R(x)$
Donc (deuxième exigence, cette notion est "correcte"), $V$ "loupe" des ultrafiltres omega1 additifs sur des ordinaux strictement plus petits que $k$.

Evidemment (c'est peut-être là que je n'ai pas été clair), JUSTEMENT l'existence des mesurables montre qu'une telle notion n'existe pas (ou n'est pas définissable).

Cependant, tu as de bons candidats, mais il faut entrer dans la technique. Soit $a$ le plus petit ordinal (dénombrable donc) tel qu'il existe un univers $U$ (ie un modèle de ZFC) bien fondé, transitif, dénombrable qui contient $a$ et voit $a$ comme le plus petit mesurable.

Appliquons le petit raisonnement précédent, en considérant que $U$ ne contient pas assez de choses pour rendre un ordinal plus petit que $a$ mesurable dans au moins un modèle transitif, dénombrable, etc. Et bé, là par contre, c'est peut-être techniquement plus impressionnant, car l'univers TOUT ENTIER $V$ ne le voit pas non plus du coup. En effet, cette recherche est juste la recherche d'une branche bien fondée dans un arbre tout simple.

Et bien ça n'a rien de "choquant" et c'est ce que je racontais à Mauricio (sous forme plus vulgarisée) l'autre jour. On n'a hélas aucun moyen de prouver (même indirectement) que notre univers a raison. Or là ce qu'on lui demande est de descendre!!! Pas de monter. De descendre encore un peu EN DESSOUS de $a$, pour trouver $a_2<a$ tel que blabla.

Très bien, supposons qu'on ait la possibilité de demander au père Noel et qu'il donne $a_2$ et le supplément d'univers qui va avec. Et bien sache que ce simple don rend tout l'ancien univers dénombrable. Autement dit, en fournissant $a_2$ et un univers $V_2$ qui va avec, et bien on aura que $V\in V_2$ et est dénombrable. L'ajout se fera AVANT TOUT en hauteur. Et non pas en largeur.

Or on peut itérer et demander $a_3<a_2, V_3$, puis $a_4,V_4$, etc.... Mais faut bien que ça s'arrête un jour car les ordinaux sont bien ordonnés.

Mais où et quand? Quelle est "la vraie limite" où il devient impossible de manière "absolue" de descendre en dessous??

Je t'avais prévenu, on est dans le romantique.

C'est exactement ce qui a provoqué l'ire de mon entourage il y a un an (je n'ai pas lu le texte, en anglais). En gros, certes JDH a pris un vieux fichier qui a trainé longtemps sur mon site, mais ce dernier ne contenait pas de théorèmes essentiels, et il n'avait pas demandé. De plus il a attendu lgtps avant de le ressortir en l'adaptant librement et cette "liberté" a posé des problèmes, autant pour mes axiomes (qui sont maintenant renommés avec son nom) et que pour cette dissert: dans chacun des deux sujets, il a pris seulement une partie de ce qui m'avait motivé et laissé le plus important.

Pour les axiomes, il a laissé L'ESSENTIEL!!! La catalyse. Or c'était le plus important et même la seule chose importante. J'avais alambiqué techniquement l'axiome qu'il a repris pour ça.

Un axiome de catalyse est un énoncé $A$ tel que pour tout axiome B de GC : (A et => cons(B). Pour "plaire" au referee, il a copié-collé un schéma d'axiomes* de mon mail collectif, certes bien plus élégant, mais aussi "stupide" en termes de vocation (et soit dit en passant évident)
La catalyse est la preuve qu'aussi grand soit les GC, ils restent "tout petits" (éléphant traumatisé par une souris). il y en a plein, j'en avais envoyé un comme ça, j'ai accepté (enfin de toute façon je n'ai pas eu le choix) qu'une dizaine d'articles émergent de cet "unique" axiome "populaire", mais c'est dommage (et illustre que le plagiatisme a des conséquences techniques parfois négatives) que l'aspect catalyse soit passé à la trappe. En plus, les axiomes de catalyse bien cuisinés A sont tels qu'il ne peut exister qu'au plus un inaccessible les vérifiant, donc on a une "réalisation" des pulsions monothéistes "grandeur nature" dans l'objectivité du déductif.

Pour la relativité, il a fait deux erreurs de principe qui sont dommage même indépendamment de la morale, la première est quasiment matériel, je parlais de multivers physiques (pas sûr que dans mes longues considérations informelles, il ait même vu immédiatement les aspects physiques que je sous-entendais), et n'ai jamais spécialement voulu appeler comme ça les différentes façons dont un univers "touche du doigt" des réels qui ne lui appartiennent pas. En outre, du fait de sa force technique, il n'a pas du tout recyclé les bornes de l'univers (donc elles ont disparu), ni les aspects formels prouvant, mais hors ZF.

Je te détaillerai tout ça plus tard.

De mon téléphone de ma réponse se tardive: ne t'inquiète pas c'est un peu la vie courante et comme je t'ai dit il paraît qu'il est vraiment pro et connu comme tel dans cet art. J'ai déjà fait part de mon fond de pensée l'an dernier je crois payant même 30 euros à un collègue pour un texte en anglais parfait (auquel JHD à répondu mais pas publiquement pour s'épargner probablement des sarcasmes du genre "hein bin moi aussi tu m'as")

En plus le dernier point évoqué ne relève pas de publication scientifique très claire (des idées peu de théorèmes, un plan d'attaque du "au delà de ZF etc) ça avait juste agacé autour de moi de les voir ainsi reproduites librement sans demande. Et moi (qui n'ai jamais regardé ce site de JHD vraiment) j'en profite pour dire ce que j'ai écrit ci dessus : les ingrédients qu'il n'a pas repris et qui étaient les plus importants. Mais "justice ne sera pas faite et pas grave" . Il y a des choses plus graves.

Merci Martial,

je promets de m'y user les neurones dès que possible

amicalement,

F.D.

Je manque à tous mes devoirs, j'avais promis de faire grandir le roman. Je m'y colle 10mn avant d'aller manger.

1/ Tout d'abord on parle bcp de la borne de Kunen, elle est très médiatisée quand on évoque les GC, mais j'ai la crainte que peu de gens savent ce qu'il y a derrière comme découverte fondamentale, intimement reliée à l'axiome du choix. Je le précise donc. Dans la suite j'abrège par $E==F$ l'expression $card(E)=card(F)$

2/ Soit $E$ un ensemble tel que $2^E == E^\N$. Alors il est réputé très facile de voir qu'il existe une fonction $\psi$ appelée "EH-fonction" (pour Erdos Hajnal) allant de $E^\N$ dans $E$ et vérifiant $\forall X\subset E: $ si $X==E$ alors $\forall x\in E\exists u\in X^\N: \psi(u)=x$.

3/ Ca donne la borne de Kunen sans plus de travail puisque que $\lambda := \sup_n j^n(k)$ est un tel $E$, quand $k:=critik(j)$.

4/ Mais, ce n'est là qu'une partie cachée de l'iceberg.

5/ Tout ensemble $E$ a cette propriété, pas seulement les $E$ tels que $E^\N==2^E$.

6/ Cela provient d'une découverte de Galvin que j'ai longuement raconté sur le forum, qui est que pour tout $E$, il existe $\phi$ telle que pour toute $u\in E^\N$, il existe $n\in \N$ , pour tout $p>n: \phi ([u|p>) = u_p$, où $[u|q>$ est la suite $n\mapsto u(p+1+n)$. Il est ensuite "trivial" d'avoir une $EH-fonction$ pour $E$ à partir de $\phi$.

7/ Un choix (probablement volontaire) a été fait de ne jouer qu'avec les modèles transitifs de ZF. Hélas, ça nous prive de généralisatoins gratuites de ce phénomène, qui se prouvent COMME se prouve la borne de Kunen, mais qui ne sont pas pour autant traductible en plongements.

8/ Exemple: vous avez votre univers $V$, un sous-univers $M$, de même hauteur (autrement dit, $M$ n'est pas un ensemble dans $V$) et tel que $M$ est sous-modèle élémentaire de $V$. Très bien.

9/ Bin, vous ne pouvez pas aller chercher un $j$ et un $N$ tel que $N$ "serait le trasitive collapse" de $M$, ie les éléments de $N$ seraient les $\sigma(x)$ quand $x$ parcourt $M$, avec $\forall x: \sigma(x):= \{\sigma (y) \mid y\in x\ ET\ y\in M \}$, car après un coup, ie après avoir calculé $j(a)$, bé ça n'a plus de sens de chercher $j(j(a))$.

10/ Pourtant au nom des mêmes arguments, vous pouvez prouver que $M=V$ (modulo des hypothèses très faibles, ie $M^\N\subset M$ et pas de parties définissables de $V$ à l'aide de $M$ qui soit hors de $V$.

11/ Autrement dit, si $V$ "apparait plein" aux spectateurs et $M\subset V$ est un sous-modèle élémentaire de $V$... alors $M=V$ ou $M\in V$.

12/ La borne de Kunen n'est qu'un cas particulier de ça. Mais "ça", c'est peu reluisant parce que le $M$ signalé n'est pas transitif.

13/ On peut remarquer que ça confère un sacré rigidité aux univers. A hauteur fixée, "il ne peut en rester qu'un". C'est le choc des titans et surtout une sorte d'attestations que "tous les ordinaux sont petits" (une de plus, puisqu'on sait qu'intuitivement, on peut injecter les ordinaux dans $\R$, mais qu'aucun univers ne pourra jamais saisir ladite injection

14/ Soit $C$ une collection d'ordinaux et imaginons le reste des ensembles construits comme suit, ce qui ne mange pas de pain puisque déductible à partir de l'axiome du choix via ajout d'une constante:

le $\alpha$ ième ensemble $E(\alpha)$ est construit via : prendre le plus petit $\beta<\alpha$ s'il existe tel qu'on n'a pas encore construit tous les éléments de $E(\beta)$ et prendre pour $E(\alpha)$ une telle partie.

15/ Ca met un bon ordre $<$ sur l'univers. Soit maintenant (la taille de l'univers est supposée grande) $a,b$ deux ordinaux, avec $a<b$ et on imagine que $a,b$ sont plus indiscernables que tout ce qu'il est possible d'imaginer.

16/ On construit la collection $C$ que tout le monde imagine qui ne tient aucun élément dans $[a,b[$ et qui, pour sauvegarder l'extensionalité, rejette aussi un certain nombre d'éléments $>b$, mais on le fait de manière effective et un par un en montant. On obtient un sous-univers strict de $V$ qui n'est pas un ensemble et donc il n'en est pas un ... sous-modèle élémentaire.

17/ J'invite alors le lecteur à s'apercevoir que ça nous "trouve" automatiquement des différences "assez concrètes" entre $a$ et $b$