Chaîne dans un ensemble partiellement ordonné

Prends $E=\N$ avec l'ordre usuel, $C= \emptyset$ (qui est bien une chaîne) et $m=0$ (qui est bien un majorant). Si tu n'es pas à l'aise avec l'ensemble vide et compte rajouter "oh, et si $C$ est non vide ?", prends $C=\{0\}$ et $m=1$

Une telle classe d'équivalence n'est pas nécessairement totalement ordonnée, donc ça n'aurait pas de sens.

Attention. Le lemme de Zorn suppose que toute chaîne a un majorant, pour en conclure que l'ensemble ordonné a un maximum. Dans l'exemple de Boole et Bill, il y a bien des chaînes qui n'ont pas de majorant (en fait l'ensemble lui-même est une chaîne sans majorant)

1 et 2 ont l'air d'être littéralement les mêmes énoncés. 3 s'inscrit toujours dans le cadre d'un ensemble inductif, et est une variaton de 1 et 2 relativement facile à prouver.
Quant à savoir combien d'éléments maximaux l'ensemble a, ça dépend de l'ensemble ordonné en question. Certains en ont un, d'autres plusieurs

Re Pierre, Maxtimax t’a répondu, et pour les formules j’écris en $\LaTeX$, pour le faire il faut encadrer du code par des $ (pour que ce soit dans le texte) ou par \[ et \] (pour que ce soit centré). Tu trouveras tout ce qu’il faut sur la page Wikibooks ici

@Pierre : pour rebondir sur ce que disait Max plus haut, une des applications phares du lemme de Zorn est l'existence d'ultrafiltres sur tout ensemble $X$.
Mieux, le point 3 te permet de dire que tout filtre est inclus dans un ultrafiltre.
Par exemple, si tu prends $X=\omega$, le filtre de Fréchet peut être étendu en un ultrafiltre.
Mais en fait (sous AC), il y a plein d'ultrafiltres plus fins que le filtre de Fréchet. Plus précisément il y en autant que de parties de $\R$, ce qui est très légèrement supérieur à 1

PierreCap: ça a l'air plutôt correct. Je me permets de faire une remarque quant à ta première preuve : tu dis "pour formaliser la construction", et ce qui suit est parfaitement juste, mais je tiens juste à dire que ce n'est pas exactement la même construction que la précédente. Dans la précédente tu fais une construction, en un sens en une fois, alors que dans la rédaction "formelle" tu prouves une propriété,qui ne parle que de "il existe". Alors bon, dans le cas des ensembles finis, c'est relativement pareil, mais justement dans la preuve du lemme de Zorn on se rend compte assez clairement que ta deuxième méthode (prouver par récurrence) est insuffisante, et qu'il faut une construction spécifique, et c'est là que l'axiome du choix intervient (remarque que dans ta deuxième construction, tu n'as pas d'axiome du choix !).

Si tu ne vois pas encore la distinction très clairement, ce n'est pas grave, dans le cas fini il n'y en a pas vraiment de toute façon, oublie ce que je viens de dire, et reviens-y quand tu penseras avoir compris le lemme de Zorn

Il n'y a jamais d'erreur dans raisonnement ce que tu as dit est juste l'utilisation de l'axiome de PierreCap suivant : "si tout élément est majoré alors toute chaîne est majorée"

Quand tu écris "A donc B" on considère automatiquement que tu utilises l'axiome "si A alors B"

Ton axiome est TRES TRES TRES puissant. Par exemple il implique que dans tout ensemble ordonné toute chaîne est majorée. Tu offres donc à IN un maximum.

Soit le nombre 40. C'est un multiple de 4. Qu'est-ce qui cloche si je dis que tous les nombres so t des multiples de 4?

Si je t'ai fait TEXTO cette remarque (deuxième post en partant d'ici). Mais tu m'as MP en disant de ne plus poster. Du coup j'hésite même à appuyer sur envoyer

moi-même a écrit:

Par exemple il implique que dans tout ensemble ordonné toute chaîne est majorée. Tu offres donc à IN un maximum.

Un exemple (mais ce n'est pas une erreur de ta part, tu as raison formellement) de "difficulté" que tu as manifestée est celui de ton évocation des nombres premiers.

Le fait que l'ensemble des nombres premiers est infini est un théorème "important" et "pas trivial" car nécessite de l'inspiration pour être prouvé. Et c'est lui que tu as choisi d'évoquer plutôt que $\mathbb{N}$ lui-même tout simplement.

D'accord! J'essaierai