Boule fermée et like-Brouwer

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
Ayant très peu de dispo, je pose "froidement" la question: Soit $B$ une boule fermée de $\R^n$ et $f$ une application continue de $B\to B$ telle que

$$bord(B)\subseteq ImageDirecteParDe(f,B)$$

Alors $f$ est-elle forcément surjective?

Je ne numérote pas la question pour l'instant car je pense qu'il y a des gens du forum qui connaissent par coeur la réponse, mais j'ai juste un trou de mémoire, alors je demande.

Merci d'avance.
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Réponses

  • Foys
    Foys
    Non, penser à $f: z \in \C \mapsto \exp \left (2\pi i Re(z)\right) \in S^1$.
    $S^1$ est le cercle unité
    La restriction de $f$ au segment $[-1,1]$ est surjective.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Si on impose en plus que la restriction de $f$ au bord de la boule soit l'identité alors oui.
    (Si $a$ est dans l'intérieur de $B$, il y a une projection continue de $B\backslash \{a\}$ sur le bord de $B$ et par composition, si $a\notin f$, on peut construire $g:B \to \partial B$ continue dont la restriction à $\partial B$ est l'identité or il est connu que c'est impossible).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    Un grand merci foys pour ce contre-exemple. Pour donner vite fait un résumé de à quoi je pensais, je repensais à l'argument non mathématique de 2 lignes pour prouver Brouwer (via son équivalent l'absence de rétraction) qui consiste à dire "sinon, il y aurait une déchirure".

    A ma connaissance, toutes les preuves de Brouwer sont inspirées, et je pensais à ça dans le cadre d'une éventuelle recherche de preuve non inspirée, d'où ma question.

    Si $f$ est une rétraction de $B$ sur $\delta B$, le film $H:=[t\in [0,1]\mapsto (x\mapsto tf(x) + (1-t)x)]$ commence avec une boule pleine et termine avec juste la sphère et donc "le premier" $t\in [0,1]$ tel que $H(t)$ laisse passer les rayon du soleil me semblait intéressant.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je vais numéroter la question suivante dans il est facile de

    Soit $H$ un Hilbert et $K$ un convexe compact inclus dans $H$. Soit $f: K\to K$. Pour $a$ dans $K$, on note $r(a,f)$ la borne inf des diamètre des $f(U)$ quand $U$ parcourt l'ensemble des ouverts (iduits sur $K$) contenant $a$.

    Existe-t-il forcément $a\in K$ tel que $dist(a,f(a))\leq sup (\{r(b,f)\mid b\in K\})$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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